Esercizi di riepilogo risolti sui limiti

Eccoci ad una scheda conclusiva: qui di seguito potete mettervi alla prova con una selezione di esercizi di riepilogo risolti sui limiti. Gli esercizi sono rivolti sia agli studenti delle superiori che agli universitari, ad eccezione di quelli presenti alla fine dell'elenco, e presuppongono una preparazione completa. Prima di affrontarli è bene aver digerito tutte le varie tecniche relative al calcolo dei limiti.

 

Ah, a proposito... ci sono altre 8 schede di esercizi proposti e di riepilogo sui limiti, divisi per livello di difficoltà; li potete consultare a partire dalla pagina del link. Per chi fosse interessato c'è anche una scheda di esercizi risolti sui limiti con parametro. :)

 

Alcuni esercizi svolti e di riepilogo sui limiti

 

Esercizio: tre limiti per x tendente a zero e a ± infinito

 

\lim_{x\to 0}{\frac{x}{1-e^{2x}}}...........\lim_{x\to +\infty}{\frac{x}{1-e^{2x}}}............\lim_{x\to -\infty}{\frac{x}{1-e^{2x}}}

 

Limite di una funzione esponenziale con base variabile

 

\lim_{x\to 0}{(1-\cos{(x)})^{\tan{(x)}}}

 

Limite fratto con confronto tra infiniti

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{\ln{\left(\frac{1}{x^2}\right)}}{\cos{(x)}-\ln{(x^4-2)}}}

 

Limite per x tendente a +infinito e stime asintotiche

 

\lim_{x\to+\infty}{\frac{e^x \sin{\left(e^{-x}\sin{(x)}\right)}}{x}}

 

Limite fratto con potenze di coseno e seno

 

\lim_{x \to 0}{\frac{\cos^3(x)-1}{\sin(x^2)}}

 

Limite con sostituzione e limiti notevoli

 

\lim_{x\to 2}\frac{(e^x-1)\ln(x-1)}{(e^{x^2}- e^4)\ln(x+1)}

 

Esercizio limite con passaggi algebrici e de l'Hopital

 

\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{\frac{1}{x}+x}{x\log{(x)}-x}}

 

Limite con forma indeterminata 0 per infinito, seno ed esponenziale

 

\lim_{x\to+\infty} x e^{x}\sin\left (e^{-x}\cdot \sin\left (\frac{2}{x}\right ) \right )

 

Limite fratto con seno, logaritmo ed equivalenze asintotiche

 

\lim_{x\to 0}{\frac{x\ln{(1+x^2)}-x^3\sin{(x^2)}}{x^3-x^4}}

 

Limite con i radicali per sostituzione

 

\lim_{x\to 1}\frac{\sqrt{x+3}-2}{\sqrt{2x^2+x+1}-2}

 

Limite con razionalizzazione e prodotto

 

\lim_{x\to 1}\frac{2x^2}{3-3x^2}(\sqrt{2-x}-1)

 

Limite con identità log-exp e limiti notevoli

 

\lim_{x\to 0^+}\frac{(x^{2x}-1)\sin(x\log(x))}{1-\cos(x\log(x))}

 

Limite di un prodotto con limiti notevoli

 

\lim_{x\to \infty}(\sqrt{x^4+x^3}-x^2)(e^{\frac{x}{x+2}}-e)

 

Limite con esponenziale a base variabile e identità log-exp

 

\lim_{x\to +\infty}{\left[\frac{4x+5}{6x+1}\right]^{\frac{1-x^2}{3x+2}}}

 

Limite con proprietà dei logaritmi e limiti notevoli

 

\lim_{x\to 0}\frac{\log(e+x)-1}{x}

 

Limite fratto con differenza di radici e logaritmo

 

\lim_{x\to +\infty}{\frac{x^{\frac{1}{3}}-x^{\frac{1}{2}}}{\log{(x^9+x^7)}}}

 

Limite esponenziale con base x ed esponente fratto, per sostituzione

 

\lim_{x\to 1}{x^{\frac{1}{x^{2}-1}}}

 

Limite esponenziale con arcotangente ed esponente razionale

 

\lim_{x\to +\infty}\left(\arctan\frac{1}{x}\right)^{\frac{3+2x}{1-x^3}}

 

Limite con equivalenze asintotiche e razionalizzazione 

 

\lim_{x\to -\infty}{\frac{\sin{\left(\frac{1}{x^2}\right)\sin{(x^2)}}}{\sqrt{3x^2+1}-\sqrt{3x^2-1}}}

 

Tre esercizi vari sui limiti

 

\lim_{x\to \infty}\left(\frac{\ln(x)}{2+\ln(x)}\right)^{x^2}

 

\lim_{x\to +\infty} (1+e^{-x})^{2x\ln(x)}

 

\lim_{x\to -\infty}\frac{2x^4-1}{x^5\sin\frac{1}{x}}\cdot \left(\frac{x-1}{x+3}\right)^{x^2}

 

Calcolo di 4 limiti per una funzione trigonometrica con termine esponenziale

 

f(x)=\frac{1}{1-2\sin(x)} e^{\frac{1}{2\sin(x)-1}}

 

Calcolo di un limite con radice e valore assoluto

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt{(1-cos{(x)})}-|x|}{x^2}}

 

Limite con tangente e valore assoluto

 

\displaystyle{\lim_{x\to +\infty} \left | \sqrt{x-2}-5 \right |\tan\frac{2x}{\sqrt{x^3-x+1}}}

 

Limite di un rapporto con arcotangente, seno e coseno

 

\lim_{x\to \frac{1}{3}}\frac{\arctan^2{[2\sin{(\pi x)}-\sqrt{3}]}}{1-\cos{(3x-1)}}

 

 

 

DA QUI IN POI SOLO UNIVERSITARI

 

Dimostrare che il coseno non ammette limite per x tendente a +infinito

 

\not\exists \lim_{x\to +\infty}{\cos{(x)}}

 

Limite all'infinito di una somma con seno e coseno

 

\lim_{x\to\infty}(3\cos(x)+7\sin(x))

 

Esercizio impegnativo: limite con rapporto di seni

 

\underset{x\to 0}{\mathop{\lim }}\,\frac{\sin \left( ax \right)-ax}{\sin \left( bx \right)-bx}

 

Limite con logaritmo calcolato sia con Taylor che con de l'Hopital 

 

f(x)=\frac{ln(1-x)+x}{x^2}

 

Classico esercizio introduttivo: limite fratto con Taylor

 

\lim_{x\to0^+} \left ( \frac{x-sin(x)}{log(1+x)-x} \right )

 

Stabilire se un limite esiste giustificando la risposta

 

 \lim_{x\to 0^+} \frac{2^{sin\frac{1}{x}}-30}{|xlnx|}  

 

Limite in cui i limiti notevoli non funzionano

 

\lim_{x\to +\infty}\left(\left(1+\frac{1}{x}\right)^x-e\right)x

 

Limite calcolato sia con Taylor che con limiti notevoli

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\arctan{(x)}-xe^{x}}{x\cos{(x)}-xe^{x}}}

 

Limite fratto con tangente iperbolica

 

\lim_{x\to0^{+}} \frac{\ln^2(x)+\cos\left(\frac{1}{x}\right)\ln(x)+\sin(x)}{\tanh(\frac{1}{x})\ln^2(x)+\sin(x)\ln(x)}

 

Limite da calcolare senza de l'Hopital

 

\lim_{x\to 0^+}\frac{x(\log(\sin(x))-\log(x))}{\sqrt{1+x^3}-1}

 

Esercizio sul calcolo di un limite con Taylor e diverse funzioni

 

 \lim_{x\to 0}{ \frac{x^{2}\cos(x)-6\log(1+x^{2})+5x^{2}}{(e^{\sqrt[4]{1+4x^{3}+8x^{4}}}-e)\arcsin (x)}}

 

Limite con Taylor, esponenziale coseno e logaritmo

 

\lim_{x\to\frac{1}{2}}\frac{\left(x-\frac{1}{2}\right)^4\left(x+\frac{1}{2}\right)^4}{e^{\cos\left(x-\frac{1}{2}\right)}+\frac{e}{2}\ln\left(x^2-x+\frac{5}{4}\right)-e}

 

 

Lezione correlata


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