Esercizi risolti sulle funzioni continue con parametro

La raccolta di questa pagina costituisce una selezione di esercizi risolti sullo studio della continuità delle funzioni parametriche, tipologia di esercizi tipica degli esami universitari di Analisi 1 come pure delle prove d'esame nelle scuole superiori.

 

Chi volesse variare la propria preparazione e dedicarsi ad una dieta equilibrata può cimentarsi anche con gli esercizi risolti sui limiti parametrici e con gli esercizi risolti su continuità e discontinuità. ;)

 

Alcuni esercizi svolti sulle funzioni continue con parametro

 

Semplice esercizio sullo studio della continuità di una funzione parametrica definita a tratti

 

f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2& x\leq 3\\ kx& x>3\end{matrix}

 

Funzione parametrica definita a tratti lineari e continuità

 

f(x)=\left\{\begin{matrix}ax-3 & x<0\\ 2x+1& x\geq 0\end{matrix}

 

Trovare i valori del parametro che rendono la funzione continua

 

f(x)=\left\{\begin{matrix}2-\sqrt{x}& x\geq 0\\ 4(x+a) & x<0\end{matrix}

 

Individuare i punti di discontinuità di una funzione fratta con parametro

 

f(x)=\frac{x+3}{4x^{2}-ax}

 

Esercizio sulla continuità di una funzione con parametro e definita a tratti

 

f(x)=\begin{cases}\frac{\sin(x^{2})}{1-\cos(x)}\ \mbox{ se }\ x\neq 0\\ a\ \mbox{ se }\ x=0\end{cases}

 

Continuità di una funzione definita a tratti con due rami e due parametri

 

f(x)=\begin{cases}\sqrt{x}\mbox{ se }x\in \left[0, \frac{1}{2}\right]\\ax^2+bx \mbox{ se }x \in \left(\frac{1}{2}, 1\right]\end{cases}

 

Esercizio sulla continuità di una funzione parametrica con due parametri

 

f(x)=\begin{cases}g^x+a&\mbox{ se }x<\frac{1}{3}\\ |\log_{\frac{1}{3}}(x)|&\mbox{ se }x\ge \frac{1}{3} \end{cases}

 

Studio della continuità di una funzione a tratti con due parametri e tre rami

 

f(x)=\begin{cases}\frac{a}{2-x}\mbox{ se }x<1\\ b\mbox{ se }x=1\\ ax^2+x+b\mbox{ se }x>1\end{cases}

 

Altro esercizio sulla continuità di una funzione definita a tratti con tre rami e due parametri

 

f(x):=\begin{cases}\frac{\sqrt{x}\tan(\sqrt{x})}{\log(1+x)}&\mbox{ se }x>0\\ a&\mbox{ se }x=0\\ a x+b&\mbox{ se }x<0\end{cases}

 

Studiare la continuità di una funzione parametrica con 3 rami

 

f(x):=\begin{cases}\frac{\log(1+\sin^2(a x))}{x^2}&\mbox{ se }x<0\\ b&\mbox{ se }x=0\\ \frac{\sin(x)}{\sqrt{x}}+4&\mbox{ se }x>0\end{cases}

 

Esercizio sulla continuità di una funzione definita da due rami trigonometrici

 

\begin{cases}a-\frac{2}{3}\sin(x)& \mbox{se } x>\frac{3}{2}\pi \in [0, 2\pi]\\ 2\cos(x)+a \sin(x)& \mbox{se }x<\frac{3}{2}\pi \in [0, 2\pi]\end{cases}

 

Continuità di una funzione parametrica con coseno e arcotangente

 

f(x)=\begin{cases}\frac{1-\cos(x-1)}{(x-1)\arctan(a(x^2-1))}\mbox{ se }x\neq 1\\ 1\mbox{ se }x=1\end{cases}

 

Valori di un parametro per cui una funzione ha una discontinuità di seconda specie

 

y= \ln\left(\frac{4x-a}{8+a x}\right)

 

Studiare la continuità di una funzione al variare di un parametro

 

f(x)=|x-1|^{\gamma}\left[\sin{\left(\frac{1}{x-1}\right)}+2\right]

 

Esercizio su funzione continua con tre rami e due parametri

 

f(x):=\begin{cases}\sqrt{|x|}\ln\left(1-\frac{1}{x}\right)+\frac{1-\cos(a x\sqrt{|x|})}{|x|^3}&\mbox{ se }x<0\\ b&\mbox{ se }x=0\\ \frac{\arcsin(x)}{\sqrt{x}}+2&\mbox{ se }x>0\end{cases}

 

Esercizio funzione prolungabile con continuità con parametro

 

f_{a,b}(x)=\left\{\begin{matrix}\frac{e^{\sqrt[3]{1+2x}}-e}{x} \\a\left(\ln(\cosh x)\right)^b \ln(\cosh\frac{1}{x})\end{matrix}\left\begin{matrix}x<0 \\ x>0\end{matrix}

 

Studiare la continuità di una funzione con parametro e parte intera

 

f(x)= (a x-[x])(a x-[-x])

 

 

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