Esercizi risolti sui limiti per sostituzione

Pertendo da questa scheda potete consultare alcuni esercizi risolti sul calcolo dei limiti per sostituzione.

 

In generale la tecnica di calcolo dei limiti mediante sostituzioni è del tutto opzionale. Essa consente di agevolare il procedimento risolutivo e di rendere più accessibili le altre strategie di calcolo (come ad esempio l'uso dei limiti notevoli), ma non è mai obbligatoria. Chiunque abbia già svolto un buon numero di esercizi e, di conseguenza, abbia già sviluppato il cosiddetto occhio clinico, può tranquillamente tralasciarla.

 

In termini didattici è comunque utile (per tutti!) provare a calcolare qualche limite per sostituzione, in modo da aggiungere un'ulteriore freccia alla propria faretra. Non si sa mai quel che può capitare in sede d'esame... ;)

 

Alcuni esercizi svolti sui limiti per sostituzione

 

Semplice limite fratto per sostituzione

 

\lim_{x\to \infty}\frac{\sin\left(\frac{2}{x}\right)}{\frac{1}{x}}

 

Limite fratto con sostituzione per ricondursi ai limiti notevoli

 

\lim_{x\to e}\frac{\ln(x)-1}{x-e}

 

Limite per sostituzione per applicare i limiti notevoli

 

\lim _{x\to 1} \frac{e^x - e }{ 2x - 2}

 

Esercizio con limite fratto, seno e sostituzione

 

\lim_{x \to \pi}{\frac{\sin(x)}{x-\pi}}

 

Limite fratto per sostituzione e confronto tra infiniti

 

\lim_{x\to 0^+} \frac{1}{x} e^{-\frac{1}{x}}

 

Limite di xln(x) per sostituzione

 

\lim_{x\to 0}\sqrt{x}\ln{^{3}x}

 

Limite trigonometrico per sostituzione

 

\lim_{x\to\frac{\pi}{2}}{\frac{(2x-\pi)\cos{x}}{x(1-\sin{x})}}

 

Limite fratto con sostituzione logaritmica

 

\lim_{x\to (-1)^+}\frac{\ln(x+1)}{-2-\ln(x+1)}

 

Altro limite goniometrico per sostituzione

 

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}\frac{3\sin^2(x)+\sin(x)-4}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2}

 

Limite per sostituzione con logaritmi ed infiniti

 

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{1}{2}\ln^2{x}-(\ln^2{3})\ln{(|\ln{x}|)}

 

Altro limite trigonometrico per sostituzione

 

\lim_{x\to 1}\frac{1+\cos(\pi x)}{x^2-2x+1}

 

Limite per sostituzione con limiti notevoli

 

\lim_{x\to 1}\frac{e^{x}-e}{\sqrt{1+(x-1)}-1}

 

Esercizio su limite con logaritmo e seno per sostituzione

 

\lim_{x\to -2}(1+\ln(3+x))^{\frac{1}{\sin(\pi x)}}

 

Limite trigonometrico con coseni per sostituzione

 

\lim_{x\to \pi}\frac{\cos(x)+1}{\cos(3x)+1}

 

Limite per sostituzione con trucchi algebrici

 

\lim_{x\to+\infty}{\frac{\sqrt{\frac{2x-1}{x-1}} - \sqrt{2}}{\frac{1}{x}}}

 

Esercizio su limite per sostituzione con x tendente a pi greco

 

\lim_{x\to \pi}\frac{(2+\cos(x))^3-1}{\ln(1+\sin(x))}

 

Esercizio su limite con seno, coseno e logaritmo per sostituzione

 

\lim_{x\to \frac{\pi}{2}}(1+\sin(\pi/2-x))^{\frac{2}{\sin(\pi/2-x)}}\ln\left(3\frac{1-\cos(\pi/2-x)}{(\pi/2-x)^2}\right)

 

Limite fratto per sostituzione con Taylor

 

\lim_{x\to 1^+}\frac{\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)+\frac{\pi}{2}(x-1)}{(x-1)^3}

 

 


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