Limiti con de l'Hôpital - Esercizi

In questa pagina ti proponiamo un po' di esercizi sul teorema di de l'Hopital. Se sai quando applicare il teorema di de l'Hôpital nel calcolo dei limiti, usarlo è molto semplice: ne abbiamo parlato nell'omonima lezione.

 

Prova a calcolare i seguenti limiti, in fondo trovi le soluzioni. Se e quando proverai a risolvere gli esercizi di riepilogo sui limiti, ti verrà via via suggerito quando usarlo. Dato che non vogliamo farci mancare niente, nelle soluzioni è indicato volta per volta un metodo alternativo con cui è possibile risolvere il corrispondente limite.

 

Esercizi sul calcolo di limiti con il teorema di De l'Hôpital


I) \lim_{x\to -1}{\frac{x^2-1}{x+1}}

 

II) \lim_{x\to +\infty}{\frac{2x^2+4x-1}{4x^2-5x+1}}

 

III) \lim_{x\to +\infty}{\frac{2e^x+5}{6-4e^x}}

 

IV) \lim_{x\to 0^{\pm}}{\frac{\arctan{\left(1+x^2\right)}-\frac{\pi}{4}}{\sin{(x)}}}

 

V) \lim_{x\to 0^+}{\frac{\ln{\left(\ln{(x+1)}\right)}}{\ln{(x)}}}

 

VI) \lim_{x\to 1^+}{\frac{\sin{\left(\sqrt{x^2-1}\right)}}{\ln{\left(x+3\sqrt{x^2-1}\right)}}}

 

VII) \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}-\ln{\left(\cos{(x)}\right)}}{x^2}} (come due limiti, distingui 0- e 0+)

 

VIII) \lim_{x\to (-1)^+}{\frac{\sin{\left(\frac{\pi}{2}x\right)}+1}{\sqrt[4]{1-x^2}}}

 


 

 

Soluzioni

 

I) -2, si può anche risolvere con una scomposizione e una semplificazione.

 

II) \frac{1}{2} con de l'Hôpital due volte, in alternativa basta un confronto tra infiniti.

 

III) -\frac{1}{2}, in alternativa un confronto tra infiniti.

 

IV) 0, non ci sono alternative più comode...

 

V) 1, de l'Hôpital due volte, in alternativa un limite notevole.

 

VI) \frac{1}{3}, in alternativa si può raccogliere la x nell'argomento del logaritmo, usare una nota proprietà dei logaritmi e poi ricorrere ai limiti notevoli.

 

VII) \pm \infty, in alternativa spezza la frazione, usa un limite notevole sul primo addendo, poi aggiungi e togli 1 nell'argomento del logaritmo e usa in altro limite notevole.

 

VIII) 0

 

 


 

 

A proposito: qui su YM è disponibile anche una scheda con una selezione di esercizi risolti sui limiti con de l'Hopital. ;)

 

 

Se hai bisogno di aiuto, di uno svolgimento o di un chiarimento, se vuoi vedere pubblicati altri esercizi, basta chiedere: apri una discussion nel Forum, e trova le risposte ai tuoi dubbi tra le migliaia di esercizi che abbiamo risolto qui su YM.

 

Buon lavoro!

Agente Ω

 

Lezione correlata


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