Esercizi sui limiti con infiniti e infinitesimi, scheda 1

Hai letto gli articoli sull'algebra dei limiti e sull'algebra di infiniti e infinitesimi? In questa scheda troverai semplici limiti che puoi risolvere con le sole nozioni introdotte in quelle lezioni. Un passo alla volta, faremo vedere poi come si calcolano tutti i limiti, anche quelli più complicati.

 

Il primo esercizio è svolto ed in fondo puoi trovare le soluzioni...e c'è anche una seconda scheda di esercizi.

 

Esercizi sui limiti con infiniti e infinitesimi

 

0) \lim_{x\to 2^{-}}{\left(\frac{x+x^{2}\ln{\left(2-x\right)}}{x-2}}\right)}

 

Svolgimento: partendo dall'algebra dei limiti, sappiamo che il limite di un rapporto è uguale al rapporto dei limiti. Possiamo allora considerare separatamente numeratore e denominatore. Analogamente, il limite di una somma/differenza/prodotto è la somma/differenza/prodotto dei limiti, quindi se consideriamo il numeratore calcoliamo il limite del primo addendo, e lo facciamo per sostituzione:

 

\lim_{x\to 2^{-}}{x}=2

 

(abbiamo trascurato il -, che significa limite da sinistra, perchè non è rilevante nella sostituzione diretta del valore cui la x tende).

 

Passiamo al secondo addendo, che è un prodotto, quindi:


- primo fattore:

 

\lim_{x\to 2^{-}}{x^{2}}=4


- Secondo fattore:

 

\lim_{x\to 2^{-}}{\ln{(2-x)}}\ \overbrace{=}^{pseudouguaglianza}\ \ln{(2-2^{-})}=\ln{(0^{+})}=-\infty

 

Dove l'ultimo passaggio viene effettuato grazie a quanto appreso dall'algebra degli infiniti e degli infinitesimi.

 

Pseudouguaglianza (nome illeggibile ma rende l'idea) sta a significare che concettualmente il passaggio è giusto, ma in termini rigorosi non potremmo scrivere un =.

 

La tendenza generale è quella di scrivere a parte i passaggi del tipo pseudouguaglianze e scrivere il risultato finale, che è esatto, in un colpo solo. Così si salvano capra (forma logico-stilistica) e cavoli (meglio scrivere i ragionamenti onde evitare di impappinarsi!).

 

Per intenderci, una pseudouguaglianza è correlata alle operazioni che non possiamo svolgere con l'algebra standard dei numeri reali, e si riferisce in particolare alle operazioni che abbiamo elencato nell'algebra dei limiti.

 

Avremmo quindi dovuto scrivere:

 

\lim_{x\to 2^{-}}{\ln{(2-x)}}=-\infty\mbox{ e a parte }\left[\ln{(2-2^{-})}=\ln{(0^{+})}=-\infty\right].

 

Passiamo al denominatore

 

\lim_{x\to 2^{-}}{x-2}\ \overbrace{=}^{pseudouguaglianza}\ 2^{-}-2\ \overbrace{=}^{pseudouguaglianza}\ 0^{-}.

 

A questo punto mettiamo tutti i risultati insieme (sono pseudouguaglianze)

 

\frac{2+4\cdot(-\infty)}{0^{-}}=\frac{2-\infty}{0^{-}}=\frac{-\infty}{0^{-}}=\frac{(-1)(+\infty)}{(-1)(0^{+})}=\frac{+\infty}{0^{+}}=+\infty

 

dove ogni passaggio è stato effettuato grazie alle regole dell'algebra degli infiniti e degli infinitesimi. Il limite vale quindi +∞.

 

 

Calcola i seguenti limiti con infiniti e infinitesimi

 

 

I) \lim_{x\to +\infty}{\left(\frac{x^{2}+2}{x}\right)

 

II) \lim_{x\to -\infty}{\left(2^{x}-\frac{1}{x}\right)}

 

III) \lim_{x\to 9}{\left[x(x-2)\right]}

 

IV) \lim_{x\to \pi}{\left[(x-\pi)\sin{(x)}\right]}

 

V) \lim_{x\to 0^{+}}{\left(x^{3}-\frac{2}{x^{6}}\right)}

 

VI) \lim_{x\to 2^{+}}{\left(\frac{1}{x-2}+\frac{1}{\sqrt{x-2}}\right)}

 

VII) \lim_{x\to +\infty}{\left[\frac{(-2)(\frac{1}{5})^{x}}{\ln{(x+4)}}\right]}

 

VIII) \lim_{x\to 2}{\left[x^{2}3^{\frac{x}{2}}+x\log_{4}{(x)}\right]}

 

IX) \lim_{x\to 1^{-}}{\left(\frac{x+3}{2x-2}-\frac{1}{1-e^{4x-4}}\right)}

 

X) \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{4}\right)^{-}}{\left[\frac{\sin{\left(x+\frac{\pi}{4}\right)}}{\tan{\left(x-\frac{\pi}{4}\right)}}\log_{\frac{\pi}{4}}{\left(\frac{1}{x}\right)}\right]}

 

XI) \lim_{x\to 0^{+}}{\left[\frac{\log_{3}{\left(x+3\right)}}{\cos{(x)}}\right]}

 

 


 

 

Soluzioni

 

I) +\infty [spezza il numeratore!]

 

II) 0

 

III) 63

 

IV) 0; [risulta 0·0]

 

V) -\infty; \ \left[\mbox{risulta} \  \frac{-2}{0^{+}}\right]

 

VI) +\infty; \ \left[\mbox{risulta} \ +\infty +\infty \right]

 

VII) 0^{-}; \ \left[ \mbox{risulta} \ \frac{0^{-}}{+\infty}\right]

 

VIII) 13

 

IX) -\infty; \ \left[\mbox{risulta} \ -\infty -\infty \right]

 

X) +\infty; \ \left[\mbox{risulta} \  \frac{-1}{0^{-}}\right]

 

XI) 1

 

 


 

 

Oltre alla scheda 2, su YM è disponibile anche una scheda di esercizi risolti sui limiti con infiniti e infinitesimi. ;)

 

 

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Buon lavoro!

Agente Ω

 

Lezione correlata..........Passa alla scheda 2


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