Esercizi limiti notevoli - Beginner

Gli esercizi che stai per leggere servono a farti prendere confidenza con l'utilizzo dei limiti notevoli nel calcolo dei limiti. Ti trovi al livello Beginner: se gli esercizi sui limiti notevoli dovessero essere troppo semplici per i tuoi gusti, puoi sempre consultare le schede Intermediate e Advanced.

 

Il primo esercizio è svolto ed ogni esercizio è accompagnato da un piccolo suggerimento per la risoluzione. In fondo trovi le soluzioni; raccomandiamo anche la lettura della lezione come usare i limiti notevoli.

 

Esercizi sui limiti notevoli


0) \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{3}{(1+3x)}}{e^{2x}-1}

 

Svolgimento: numeratore e denominatore hanno una faccia nota. Prima di tutto proviamo con la sostituzione diretta del valore cui tende x, troviamo

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\log_{3}{(1+3x)}}{e^{2x}-1}=\left[\frac{0}{0}\right]

 

abbiamo dunque una forma indeterminata. Al di là del fatto che in questa scheda risolviamo gli esercizi con i limiti notevoli, è bene sapere che molte delle forme di indecisione si risolvono con i limiti notevoli. Ok, guardiamo l'elenco dei limiti notevoli, e ne vediamo due che potrebbero tornarci molto utili:

 

  • \lim_{x\to qualcosa}{\frac{\log_{a}{(1+f(x))}}{f(x)}}=\frac{1}{\ln{a}}    a patto che f(x)→0 quando x→qualcosa

e

  • \lim_{x\to qualcos'altro}{\frac{e^{f(x)}-1}{f(x)}}=1    a patto che f(x)→0 quando x→qualcos'altro.

Qui infatti non possiamo usare i limiti notevoli originari, ossia quelli in cui compare la sola x. Dobbiamo usare necessariamente i limiti notevoli in forma generica.

Usiamo il secondo limite notevole per sostituire a e2x-1 l'equivalente asintotico 2x: osserviamo infatti che f(x)=2x→0 quando x→0, quindi la "regola di utilizzo" del limite notevole è soddisfatta. Otteniamo:

\lim_{x\to 0}{\frac{\log_{3}{(1+3x)}}{e^{2x}-1}=\lim_{x\to 0}{\frac{\log_{3}{(1+3x)}}{2x}

In modo del tutto analogo, osserviamo che possiamo usare anche il primo limite notevole, e dunque sostituire log3(1+3x) con il suo equivalente asintotico 3x\cdot\frac{1}{\ln{(3)}}. Ciò è possibile perchè f(x)=3x→0 quando x→0. Concludiamo così che

 

\lim_{x\to 0}{\frac{\log_{3}{(1+3x)}}{2x}=\lim_{x\to 0}{\frac{\frac{3x}{\ln{(3)}}}{2x}=\frac{3}{2\ln{(3)}}.

 

 


 

 

Ora prova a calcolare i seguenti limiti facendo ricorso ai limiti notevoli

 

I) \lim_{x\to 0}{\frac{\sin{(x)}}{\ln{(1+x)}}}

 

[servono due limiti notevoli]

 

II) \lim_{x\to 0}{\frac{1-\cos{(x)}}{\ln{(1+x^{2})}}

 

[servono due limiti notevoli]

 

III) \lim_{x\to \frac{5}{2}}{\frac{e^{2x-5}-1}{\sin{\left(2x-5\right)}}}

 

[servono due limiti notevoli]

 

IV) \lim_{x\to \pm\infty}{\left(1+\frac{1}{2x}\right)^{3x}}

 

[serve un limite notevole, e devi ricondurti ad esso: per farlo, puoi moltiplicare e dividere l'esponente per una stessa quantità, diciamo...2, e sfruttare una ben nota proprietà delle potenze]

 

V) \lim_{x\to 0^+}{\frac{\ln{(1-7x)}}{\sqrt{1-\cos{(x)}}}}

 

[servono due limiti notevoli: attenzione al fatto che nell'argomento compare 1-... e non 1+ come richiede il limite notevole corrispondente. Basta scrivere 1+(-...)]

 

VI) \lim_{x\to 0}{\frac{\sqrt[7]{1+3x}-1}{\sin{(4x)}}}

 

[servono due limiti notevoli]

 

VII) \lim_{x\to 0}{\frac{2x+\sin{(4x)}}{\tan{(x)}}

 

[spezza il numeratore e poi usa due limiti notevoli]

 

VIII) \lim_{x\to 0}{\frac{\log_{2}{(1+4x)}}{2^{2x}-1}}

 

[servono due limiti notevoli]

 

IX) \lim_{x\to +\infty}{\frac{\ln{\left(1+\frac{1}{x^{2}}\right)}}{\frac{3}{x^{2}}}}

 

[serve un limite notevole. Quando x→+∞ a che valore tende 1/(x2) ?]

 

X) \lim_{x\to 0}{\frac{e^{\frac{3}{4}x}-1}{(1+x)^{\frac{3}{2}}-1}

 

[servono due limiti notevoli]

 


 

 

Soluzioni:

 

I) 1

 

II) \frac{1}{2}

 

III) 1

 

IV) e^{\frac{3}{2}}

 

V) -7\sqrt{2}

 

VI) \frac{3}{28}

 

VII) 6

 

VIII) \frac{2}{\ln^{2}{(2)}}

 

IX) \frac{1}{3}

 

X) \frac{1}{2}

 

 


 

 

Oltre alle schede intermediate e advanced, sono disponibili altre due schede correlate: una di esercizi risolti sui limiti notevoli per applicazione diretta, l'altra di esercizi risolti sui limiti con le equivalenze asintotiche dei limiti notevoli.

 

 

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Buon lavoro!

Agente Ω

 

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Lezione correlata


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