Esercizi sulle funzioni continue

Nella lezione sulla nozione di funzione continua in un punto abbiamo mostrato le linee guida che permettono di capire, partendo da una opportuna definizione di continuità, se una funzione è continua o meno in un punto.

 

In questa scheda di esercizi sulle funzioni continue ti proponiamo due tipologie di esercizi: nel primo gruppo vengono assegnate delle funzioni e chiediamo di verificare se esse sono continue o meno in determinati punti.

 

Nel secondo gruppo invece proponiamo delle funzioni dipendenti da un parametro e chiediamo di determinare il valore del parametro che rende la funzione continua nel punto specificato.

 

Entrambi i gruppi di esercizi presentano un esempio guidato, e come al solito le soluzioni.

 

Esercizi sulla continuità delle funzioni in un punto


0) y=e^{x}+2x^{3}-1 nel punto x=2.

 

Svolgimento: dobbiamo vedere, in accordo con la definizione, se i due limiti sinistro e destro per x\to 2 esistono finiti, se coincidono tra loro e in tal caso se il loro valore comune coincide con la valutazione della funzione f(x) nel punto x0=2.

 

Il limite sinistro vale

 

\lim_{x\to 2^{-}}{e^{x}+2x^{3}-1}=e^{2}+16-1=e^{2}+15

 

quello destro, invece

 

\lim_{x\to 2^{+}}{e^{x}+2x^{3}-1}=e^{2}+16-1=e^{2}+15

 

e la valutazione della funzione nel punto x0=2 vale f(2)=e2+15. Si conclude che la funzione considerata è continua in x0=2.

 

 


 

 

0+0) f(x)=\begin{cases}\frac{1}{x} \ \mbox{se} \ x >0 \\ 0 \ \mbox{se} \ x \leq 0 \end{cases} nel punto x_0=0.

 

Per com'è definita la nostra funzione: f(x_0)=f(0)=0.

 

Calcoliamo ora il limite destro servendoci delle regole dell'Algebra di infiniti e infinitesimi:

 

\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{1}{x}}=+\infty

 

Già questo è sufficiente per dire che la funzione considerata non è continua nel punto x0=0.

 

PRIMA DI PROCEDERE, UN'OSSERVAZIONE


Se hai letto i nostri articoli sul calcolo dei limiti, ti sarai accorto che a volte possiamo snobbare i - e i +, in altri casi no. I casi in cui devi considerare i - e i + sono essenzialmente quelli in cui trovarsi a sinistra o a destra del punto considerato cambia radicalmente il risultato della valutazione.

 

Prendiamo il primo esempio: se valuti 2x3 in 2-, avresti 2·8- ossia 16-, mentre se lo valuti in 2+ troveresti 16+. Se ci fai caso, non fa nessuna differenza nella valutazione della funzione, e puoi direttamente pensare a 16.

 

Se invece, per esempio, prendiamo la funzione logaritmica y=ln(x), allora puoi valutarlo in 0+, non puoi valutarlo in 0- (il logaritmo ha come dominio l'asse reale positivo) e non puoi nemmeno valutarlo in 0!

 

Continuiamo...

 

Esercizi sulla continuità delle funzioni in un dato punto



I) y=\sqrt{x(x-2)} nei punti x_0=0, \ x_0=2

 

II) y=|2x-7| nel punto x_0=\frac{7}{2}

 

III) y=\begin{cases}1 \ \mbox{se} \ x \ge 2 \\ -1 \ \mbox{se} \ x<2 \end{cases} nel punto x_0=2

 

IV) y=\begin{cases}e^{-\frac{1}{x^2}} \ \mbox{se} \ x\neq 0 \\ 0 \ \mbox{se} \ x=0 \end{cases} nel punto x_0=0

 

V) y=\begin{cases}x^2+1 \ \mbox{se} \ x \le 1 \\ |x|+2 \ \mbox{se} \ x > 1\end{cases} nel punto x_0=1

 

Esercizi sulla continuità delle funzioni con parametro

 

0) Funzione definita da

 

y=\begin{cases}x^2+3x+a\mbox{ se }x<0\\ \frac{5}{x+2}\mbox{ se }x\geq 0\end{cases}

 

Svolgimento: Il punto in cui dobbiamo richiedere la continuità è x=0. In accordo con la definizione, calcoliamo limite sinistro e limite destro facendo però attenzione: a sinistra di zero la funzione è definita in un modo, a destra in un altro.

 

Limite sinistro:

 

\lim_{x\to 0^{-}}{f(x)}=\lim_{x\to 0^{-}}{x^{2}+3x+a}=a

 

Limite destro:

 

\lim_{x\to 0^{+}}{f(x)}=\lim_{x\to 0^{+}}{\frac{5}{x+2}}=\frac{5}{2}

 

Per la definizione di continuità in un punto, i due limiti sinistro e destro devono esistere finiti, e questo è vero. Devono inoltre essere uguali, e il loro comune valore deve coincidere con la valutazione della funzione nel punto considerato (zero). Quindi calcoliamo

 

f(0)=\frac{5}{0+2}=\frac{5}{2}

 

avendo prestato attenzione nello scegliere la giusta espressione di f (quella con il maggiore uguale, per intenderci). Ora imponiamo

 

\lim_{x\to 0^{-}}{f(x)}=a=f(0)=\frac{5}{2}=\lim_{x\to 0^{+}}{f(x)}.

 

Abbiamo così il valore del parametro a che rende continua la funzione in x0=0: a=\frac{5}{2}.

 

 

Esercizi sulla continuità delle funzioni dipendenti da un parametro


I) y=\begin{cases}\sqrt{x+2}\mbox{ se }-2\leq x\leq 0\\ x^2+2ax+a\mbox{ se }x> 0\end{cases}

 

[Suggerimento: x_0=0]

 

II) y=\begin{cases}a(x+1)\mbox{ se }x\leq0\\ \frac{e^{2x}-1}{\sin{(4x)}\cos{(x)}}\mbox{ se }x>0\end{cases}

 

[Suggerimento: x_0=0]

 

III) y=\begin{cases}\frac{1}{2}x^3+2x-ax^{2}+\frac{\pi}{2}\mbox{ se }x\leq 0\\ \arctan{\left(\frac{2}{x}\right)}\mbox{ se }x>0\end{cases}

 

[Suggerimento: x_0=0]

 

IV) y=\begin{cases}a(x^2-2)\mbox{ se }x\neq \pm 1\\ 3\mbox{ se }x=\pm 1\end{cases}

 

[Suggerimento: x_0=-1 \ \mbox{e} \ x_0=1]

 

V) y=\begin{cases}2\ln{\left(1+\sin{(x)}-x\right)}\mbox{ se }x\leq 0\\ y=a\frac{3x+3x^2}{\sin{(x)}}\mbox{ se }x> 0\end{cases}

 

[Suggerimento: x_0=0]

 

 


 

 

Soluzioni primo gruppo

 

 

I) Continua nei due punti x_0=0 \ \mbox{e} \ x_0=2.

 

II) Continua in x_0=\frac{7}{2}.

 

III) Non continua in x_0=2.

 

IV) Continua in x_0=0.

 

V) Non continua in x_0=1.

 

Soluzioni secondo gruppo

  

I) Continua in x_0=0 \ \mbox{per} \ a=\sqrt{2}.

 

II) Continua in x_0=0 \ \mbox{per} \ a=\frac{1}{2}.

 

III) Continua in x_0=0 indipendentemente da a.

 

IV) Sia in x_0=-1 che in x_0=1 continua per a=-3.

 

V) Continua in x_0=0 \ \mbox{per} \ a=0.

 

 


 

 

Chiunque fosse interessato può anche dare un'occhiata alla scheda di esercizi risolti su continuità e discontinuità. ;)

 

 

Se hai bisogno di aiuto, di uno svolgimento o di un chiarimento, se vuoi vedere pubblicati altri esercizi, basta chiedere: apri una discussione nel Forum.

 

Buon lavoro!

Agente Ω

 

Lezione correlata


Tags: esercizi sulle funzioni continue e sulla continuità in un punto o su un intervallo, definite a tratti e non, con soluzioni e spiegazioni su come risolverli.

 

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