Esercizi sui limiti con la definizione (caso di limite infinito per x tendente a un valore finito)

Se hai letto l'articolo limite infinito per x tendente ad un valore finito dovresti essere in grado di svolgere i seguenti esercizi sulla verifica di limiti con la definizione.

 

Il primo esercizio è svolto e puoi usarlo per dedurne il prototipo di svolgimento; in fondo trovi le soluzioni. In alcuni casi è richiesta la verifica di un limite da sinistra \left(x\rightarrow x_{0}^-\right) o da destra \left(x\rightarrow x_{0}^+\right), in altri entrambe le cose in un colpo solo \left(x\rightarrow x_{0}\right), a patto che il risultato del limite sia uno solo; in altri casi ancora dovrai fare due verifiche separate, partendo da due disuguaglianze distinte, se hai un limite da sinistra e da destra e se il risultato del limite ha il doppio segno.

 

Esercizi sulla verifica dei limiti con la definizione (limite infinito per x tendente a un valore finito)


0) Verificare che \lim_{x\to 0}{\left(\frac{1}{x^4}\right)}=+\infty

 

Svoglimento: dato che non è specificato se il limite è da sinistra o da destra, vale in entrambi i casi. Dobbiamo al solito imporre la disuguaglianza finale f(x)>M con M>0 un arbitrario valore di controllo sulle ordinate, e ricavare una distanza di controllo sulle ascisse, detta \delta, dipendente da M.

 

Ci aspettiamo dunque come risultato una doppia disequazione della forma

 

0- \mbox{qualcosa dipendente da} \ M<x<0+ \mbox{qualcosa dipendente da} \ M.

 

Chiediamo intanto che

 

f(x)>M\mbox{ ossia }\frac{1}{x^4}>M

 

Qui non serve partire da due disuguaglianze distinte perchè sia a sinistra che a destra il limite vale più infinito. Dalla disequazione che abbiamo imposto si deduce agilmente

 

x^{4}<\frac{1}{M}.

 

Con il solito metodo di risoluzione delle disequazioni di grado superiore al secondo per sostituzione, passiamo al grado 2 ottenendo

 

-\sqrt{\frac{1}{M}}<x^{2}<+\sqrt{\frac{1}{M}}.

 

La prima delle due disuguaglianze è inutile: ci chiede quando un numero negativo è minore di un numero positivo o alla peggio nullo (x2). Ci basta ragionare sulla seconda disuguaglianza x^2<+\sqrt{\frac{1}{M}}, che diventa

 

-\sqrt[4]{\frac{1}{M}}<x<+\sqrt[4]{\frac{1}{M}}.

 

Banalmente (e un po' mi vergogno a scriverlo) abbiamo

 

0-\sqrt[4]{\frac{1}{M}}<x<0+\sqrt[4]{\frac{1}{M}}

 

quindi il valore \delta cercato è \delta=\sqrt[4]{\frac{1}{M}}. Il limite è così verificato.

 

 


 

 

NOTA BENE: se e quando trovi un denominatore, devi sempre porti la domanda: "È positivo o è negativo?" Per capirlo, bisogna tenere in considerazione con quali x stiamo lavorando. Tendenzialmente, e salvo casi particolari (come l'esercizio I) a sinistra avrai un segno e a destra un altro.


I) Verificare che \lim_{x\to 3^+}{\left(\frac{1}{x^2-9}\right)}=+\infty

 

[parti dalla disequazione f(x)>M, supponendo che M>0 e tenendo a mente che x>3]

 

II) Verificare che \lim_{x\to 1^{+}}{\left(\frac{x-3}{x-1}\right)}=-\infty

 

[il risultato è una disuguaglianza singola]

 

III) Verificare che \lim_{x\to 0^{+}}{[\ln{(x^3)}]}=-\infty

 

[il risultato è una disuguaglianza singola]

 

IV) Verificare che \lim_{x\to 2^{-}}{\left(\frac{1}{\sqrt{2-x}}\right)}=+\infty

 

[il risultato è una disuguaglianza singola]

 

V) Verificare che \lim_{x\to 0^{\pm}}{\left(\frac{1}{2e^{x}-2}\right)}=\pm\infty

 

[per la verifica devi partire da due disuguaglianze separate (f(x)>M, f(x)<-M)]

 

VI) Verificare che \lim_{x\to e^{-}}{\left(\frac{-3}{\ln{(x)}-1}\right)}=+\infty

 

VII) Verificare che \lim_{x\to 0^{+}}{\left[\log_{\frac{1}{2}}{(e^{x}-1)}\right]}=\pm\infty

 

[per la verifica devi partire da due disuguaglianze separate (f(x)>M, f(x)<-M)]

 


 

 

Soluzioni

 

I) 3<x<\sqrt{\frac{1}{M}+9}

 

II) 1<x<1+\frac{2}{M+1}

 

III) 0<x<\sqrt[3]{\frac{1}{e^{M}}}

 

IV) 2-\frac{1}{M^{2}}<x<2

 

V) \mbox{A sinistra}: \ \ln{\left(1-\frac{1}{2M}\right)}<x<0; \ \mbox{a destra}: \ 0<x<\ln{\left(1+\frac{1}{2M}\right)}

 

VI) e^{1-\frac{3}{M}}<x<e

 

VII) 1<x<\ln{\left[\left(\frac{1}{2}\right)^M+1\right]}.

 


 

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Buon lavoro!

Agente Ω

 

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