Esercizi sui limiti con la definizione (limite infinito per x tendente a un valore infinito)

Se hai letto l'articolo limite infinito per x tendente a un valore infinito dovresti essere in grado di verificare, mediante la definizione, che valgono le uguaglianze che seguono. A volte capita di dimenticarsi certe regolette imparate "da piccoli", quindi a fianco degli esercizi troverai qualche suggerimento. Il primo esercizio è svolto, ma ricordati che i segni e i simboli di disuguaglianza dipendono dai segni degli infiniti che compaiono nei limiti. In fondo puoi trovare le soluzioni.

 

Esercizi sulla verifica dei limiti con la definizione (limite infinito per x tendente a un valore infinito)

 

0) Verificare che \lim_{x\to +\infty}{\left(\frac{3-x}{2}\right)}=-\infty

 

Svolgimento: scegliamo un valore di controllo arbitrario N>0, vogliamo far vedere che esiste un corrispondente valore di controllo M, dipendente da N, che verifica la definizione. Osserviamo che il limite vale -\infty, quindi imponiamo la disuguaglianza per il controllo delle ordinate

 

f(x)<-N,

 

vale a dire

 

\frac{3-x}{2}<-N.

 

Se tutto va bene ci aspettiamo, smanettando con qualche calcolo, di arrivare ad una disuguaglianza del tipo x>M=pincopalla. Procediamo:

 

3-x<-2N,

da cui

 

x>3+2N

 

e abbiamo così trovato il nostro M dipendente da N: M=3+2N. Tutto funziona, infatti la x tende a più infinito e il segno di disuguaglianza deve essere >, inoltre la M che ci risulta è positiva perchè N è per ipotesi un numero positivo. Il limite è verificato.

 

 




I) Verificare che \lim_{x\to -\infty}{\left(\frac{x^2+7}{2}\right)}=+\infty

 

[ti troverai con una doppia disuguaglianza, scegli quella che ti serve!]

 

II) Verificare che \lim_{x\to -\infty}{(\sqrt{1-x})}=+\infty

 

III) Verificare che \lim_{x\to +\infty}{\left[\ln{(\sqrt{x})}\right]}=+\infty

 

IV) Verificare che \lim_{x\to +\infty}{\left[\log_{\frac{1}{3}}{\left(x+2\right)}\right]}=-\infty

 

[Quando in una disequazione logaritmica hai una base compresa tra 0 ed 1, ti ricordi cosa si deve fare sul segno di disuguaglianza quando si elimina il logaritmo?...]

 

V) Verificare che \lim_{x\to -\infty}{-\left(x^2+2\right)^3}=-\infty

 

[ti troverai con una doppia disuguaglianza, scegli quella che ti serve!]

 

VI) Verificare che \lim_{x\to +\infty}{\left(-2^{x^3-2}\right)}=-\infty

 


 

 

Soluzioni

 

I) x<-M=-\sqrt{2N-7}

 

II) x<-M=1-N^2

 

III) x>M=e^{2N}

 

IV) x>M=3^{N}-2

 

V) x<-M=-\sqrt{\sqrt[3]{N}-2}

 

VI) x>M=\sqrt[3]{\log_{2}(N)+2}

 


 

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Buon lavoro!

Agente Ω

 

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