Infiniti e infinitesimi, esercizi

Dopo aver scoperto che alcuni limiti sappiamo calcolarli con estrema facilità - quelli in cui basta sostituire il valore x0 cui tende x nel limite ed in cui si applica la sostituzione diretta - adesso passiamo allo step successivo: sei in grado di risolvere gli esercizi su infiniti e infinitesimi?

 

I limiti che seguono si calcolano con l'Algebra di infiniti e infinitesimi. La cattiva notizia è che non siamo vicini a saper calcolare un qualsiasi limite; quella buona è che una ottima catalogazione e un minimo sforzo ci metteranno nella condizione di calcolare qualsiasi limite.

 

Abbiamo già accennato al fatto che l'Algebra degli Infiniti e degli Infinitesimi non copre tutti i possibili casi. Essa rende possibili calcoli che prima non eravamo in grado di svolgere, e il suo funzionamento è in tutto e per tutto simile all'Algebra dei Limiti standard. I casi peggiori, quelli in cui anche l'Algebra degli Infiniti e degli Infinitesimi non basta, vanno sotto il nome di forme indeterminate e ce ne occuperemo nel seguito.

 

Dunque: qui hai una lista di limiti da calcolare. Alcuni li risolvi con l'Algebra degli Infiniti e degli Infinitesimi, altri no. Se non puoi, per il momento la soluzione all'esercizio è: "non posso". Il primo esercizio è svolto, per gli altri trovi in fondo le soluzioni.

 

Esercizi su infiniti e infinitesimi

 

0) \lim_{x\to +\infty}{\left(\ln{(x)}\right)^{x}}

 

Svolgimento: conoscendo il comportamento della funzione logaritmo naturale, sappiamo che per valori sempre più grandi delle ascisse x abbiamo valori sempre più grandi del logaritmo. Dunque, \ln{(x)}\rightarrow +\infty quando x\rightarrow +\infty.

 

A cosa dobbiamo elevare questo infinito positivo? L'esponente è {x}, e se x\rightarrow +\infty dobbiamo elevare a...più infinito Indeciso. L'esponente è quindi di segno positivo, e l'Algebra degli Infiniti e degli Infinitesimi ci dice che

 

(+\infty)^{(+\infty)}=(+\infty).

 

Il limite vale quindi +\infty.

 

Risolvi i seguenti esercizi sui limiti con infiniti e infinitesimi

 

I) \lim_{x\to 0}{\frac{\ln{(x^{2})}}{x+3}}

 

[il logaritmo naturale, avvicinandosi a zero da destra, assume valori negativi sempre più grandi, quindi è come se fosse...pensa al grafico!]

 

II) \lim_{x\to (-3)^{+}}{\frac{3x-1}{x+3}}

 

[(-3)+ vuol dire a destra di -3, per farti un'idea puoi pensare a -2.999]

 

III) \lim_{x\to +\infty}{\frac{x^{3}+2x-5}{x^4-1}}

 

IV) \lim_{x\to \left(\frac{\pi}{2}\right)^{+}}\frac{\cos(x)}{\frac{1}{x-\frac{\pi}{2}}}}

 

[attenzione, + vuol dire "a destra di"...]

 

V) \lim_{x\to (-1)^{+}}{\frac{\ln \left(\frac{1}{1+x}\right)}{x^4+3}}

 

[(-1)+ vuol dire a destra di -1, ad esempio pensa a -0.999]

 

VI) \lim_{x\to (0)^{+}}{\frac{5x^{3}-2x^{2}+e^{\frac{1}{x}}}{3x^{2}+7x^{6}}}

 

[0+ vuol dire a destra di 0, un "molto poco" positivo, ad esempio pensa a 0.001]

 

VII) \lim_{x\to (0)^{+}}{x\log_{2}{\left(\frac{1}{x}\right)}}

 

VIII) \lim_{x\to -\infty}{\left(e^{x}+x\right)^{3}}

 

IX) \lim_{x\to -\infty}{\left(e^{x}-x\right)^{\frac{1}{x^{2}}}}

 

X) \lim_{x\to 0}{\frac{\left(\sqrt{3}\right)^{x}-1}{e^{2x^5}}}

 


 

 

Soluzioni

 

I) -\infty

 

II) -\infty perchè trovi \frac{-10}{0^{+}}

 

III) Trovi \frac{+\infty}{+\infty} dunque non puoi rispondere!

 

IV) 0^{-}, infatti poco oltre \frac{\pi}{2} la funzione coseno vale poco meno di zero, cioè 0^{-}, mentre il denominatore è \frac{1}{0^{+}}=+\infty.

 

V) +\infty perche l'argomento del logaritmo è \frac{1}{0^{+}}=+\infty, e \frac{+\infty}{4}=+\infty

 

VI) +\infty, infatti troviamo \frac{+\infty}{0^{+}}

 

VII) Non possiamo rispondere: abbiamo 0^{+}\cdot(\infty) che a priori non fa zero e non fa infinito!

 

VIII) -\infty, perchè è potenza dispari (3) di meno infinito. Occhio che e^{-\infty}=0^{+}!

 

IX) Non possiamo rispondere, infatti avremmo +\infty^{0^{+}}

 

X) 0.

 


 

Se hai bisogno di aiuto, di uno svolgimento o di un chiarimento, se vuoi vedere pubblicati altri esercizi, basta chiedere: apri una discussione nel Forum, e trova le risposte che ti servono con la barra di ricerca. Qui su YM abbiamo risolto e spiegato migliaia di esercizi...

 

Buon lavoro!

Agente Ω

 

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