Esercizi sui limiti per sostituzione diretta (Algebra dei Limiti)

Entriamo nel vivo della pratica. Vi proponiamo una manciata di esercizi sul calcolo dei limiti per sostituzione diretta, o in altri termini esercizi sull'Algebra dei limiti; i più semplici che si possono incontrare in questo contesto.

 

 

Nell'articolo sull'algebra dei limiti abbiamo detto che in alcuni casi il calcolo dei limiti è semplice: si tratta solo di sostituire il valore cui tende la x, vale a dire x0 nell'espressione

 

\lim_{x\to x_{0}}{f(x)}

 

Quando si può fare? Quando funziona, cioè quando la sostituzione diretta al posto della x ci dà dei calcoli che siamo in grado di fare. In termini rigorosi: quando f(x) è una funzione continua in x0 (avremo modo di occuparci della questione nel seguito, con tutte le definizioni ed i crismi del caso).

 

Se invece ci troviamo ad avere calcoli che non sappiamo effettuare? Non possiamo ragionare con la sostituzione diretta, dobbiamo seguire altre strade, prima di tutto conviene provare con l'Algebra di infiniti e infinitesimi.

 

Prova a fare così: di seguito trovi un tot di limiti. Alcuni puoi svolgerli con la sostituzione diretta al posto della x, altri no. Se puoi farlo, trova il valore del limite; in caso contrario, la soluzione momentanea sarà "non risolvibile con la sostituzione diretta". Per questi ci vorrà un po' più di calma, ogni cosa a suo tempo... ;)

 

Esercizi sul calcolo dei limiti per sostituzione diretta

 

I) \lim_{x\to 2}{\left(\frac{\sqrt{x+7}}{3x}\right)}

 

II) \lim_{x\to 1}{\left(\frac{2x^3-x+5}{1-x-x^3}\right)}

 

III) \lim_{x\to -3}{\left(\frac{3-e^{x}}{x+3}\right)}

 

IV) \lim_{x\to \frac{\pi}{2}}{\left(\frac{e^{x}}{2\sin(x)}\right)}

 

V) \lim_{x\to 0}{\left(\frac{5}{x+2e^{x}}\right)}

 

VI) \lim_{x\to +\infty}{\left(\frac{x^2+3x}{x^5-13}\right)}

 

VII) \lim_{x\to 5}{\left(\frac{x+3-x^{2}}{x^{2}-25}\right)}

 

VIII) \lim_{x\to 0}{\left[\ln{(\cos{(x)})}\right]}

 

IX) \lim_{x\to 0^{+}}{\left[\ln{\left(\frac{x}{1+\sqrt{x}}\right)}\right]}

 

X) \lim_{x\to 0}{\left[2x+\ln(x)\right]^2}

 


 

 

Soluzioni:

 

I) \frac{1}{2}

 

II) -6

 

III) Non puoi con la sostituzione diretta

 

IV) \frac{e^{\frac{\pi}{2}}}{2}

 

V) \frac{5}{2}

 

VI) Non puoi con la sostituzione diretta

 

VII) Non puoi con la sostituzione diretta

 

VIII) 0

 

IX) Non puoi con la sostituzione diretta

 

X) Non puoi con la sostituzione diretta

 


 

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Buon lavoro!

Agente Ω

 

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