Esercizi sui limiti con la definizione (caso di limite finito per x tendente a un valore infinito)

Ricorrendo alla definizione di limite finito per x tendente a un valore infinito, verifica le uguaglianze che seguono. Il primo esercizio presenta lo svolgimento, così potrai dedurne le linee guida per la risoluzione degli altri esercizi. Come al solito in fondo trovi le soluzioni.

 

Esercizi sulla verifica di limiti con la definizione (limite finito per x tendente a un valore infinito)


0) Verificare che \lim_{x\to +\infty}{\left(\frac{3x^2-2}{x^2}\right)}=3


Svolgimento: prendiamo, come suggerito dalla definizione del limite in considerazione, una distanza di controllo \varepsilon arbitraria, che tratteremo come fosse una variabile, o un parametro. Dobbiamo trovare un valore M che dipenda da \varepsilon e che soddisfi la definizione. Richiediamo dunque che

 

\left|f(x)-3\right|<\varepsilon

 

vale a dire

 

\left|\frac{3x^2-2}{x^2}-3\right|<\varepsilon.

 

Sbarazziamoci del valore assoluto, dunque ci troviamo tra le mani una doppia disequazione

 

-\varepsilon<\frac{3x^2-2}{x^2}-3<\varepsilon

 

che riscriviamo separatamente

 

  • -\varepsilon<\frac{3x^2-2}{x^2}-3
     
  • \frac{3x^2-2}{x^2}-3<\varepsilon.

 

Calcolando il denominatore comune, con un piccolo conto arriviamo ad avere

 

  • -\varepsilon<\frac{-2}{x^2}\right
     
  • \frac{-2}{x^2}<\varepsilon.

 

Possiamo moltiplicare per x^2 ogni membro delle disuguaglianze, tanto è sicuramente positivo (negativo no di certo, è un quadrato, potrebbe essere zero? No, zero non è nel dominio della funzione, quindi nessun problema...)

 

  • x^2>\frac{2}{\varepsilon}
     
  • x^{2}>\frac{-2}{\varepsilon}.

 

La seconda disuguaglianza è inutile: ci chiede quando un numero positivo, x^2, è maggiore di un numero negativo (si ricordi che \varepsilon>0). Ci basta la prima disuguaglianza che ci darebbe

x<-\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}\vee x>\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}.

 

Dato che il limite è per x\rightarrow +\infty, dobbiamo considerare solamente la seconda disuguaglianza, che ci dice proprio come deve essere fatto M


x>\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}, dunque M=\sqrt{\frac{2}{\varepsilon}}.

 

Abbiamo così verificato che da un qualsiasi \varepsilon discende automaticamente un opportuno M (che è grande!). Il limite vale!

 

 


 

 

Ora puoi provare da te, e ricorda: se x\to -\infty devi ragionare con x negative e "grandi", se x\to +\infty devi ragionare con x positive e "grandi".

 

I) Verificare che \lim_{x\to -\infty}{\left(\frac{x+1}{2x-3}\right)}=\frac{1}{2}

 

II) Verificare che \lim_{x\to +\infty}{\left(\frac{1+5\ln{(x)}}{2\ln{(x)}}\right)}=\frac{5}{2}

 

III) Verificare che \lim_{x\to +\infty}{\left(\frac{e^{x}-6}{1+e^{x}}\right)}=1

 

IV) Verificare che \lim_{x\to -\infty}{\left(e^{\frac{x-2}{x+5}}\right)}=e

 

V) Verificare che \lim_{x\to +\infty}{\left(\frac{\sqrt{x}}{\sqrt{2x}-1}\right)}=\frac{1}{\sqrt{2}}

 

VI) Verificare che \lim_{x\to \pm\infty}{\left(\frac{3x^3-2}{1-x^3}\right)}=-3

 


 

 

Soluzioni

 

I) x<\frac{6\varepsilon-5}{4\varepsilon}

 

II) x>e^{\frac{1}{2\varepsilon}}

 

III) x>\ln{\left(\frac{7-\varepsilon}{\varepsilon}\right)}

 

IV) x<\frac{2+5\ln{\left(e+\varepsilon\right)}}{1-\ln{\left(\varepsilon+e\right)}}, occhio che 1-\ln{\left(e+\varepsilon\right)} è un numero negativo!

 

V) x>\left(\frac{1+\sqrt{2}\varepsilon}{2\varepsilon}\right)^2

 

VI) x<\sqrt[3]{\frac{\varepsilon-1}{\varepsilon}}\vee x>\sqrt[3]{\frac{\varepsilon+1}{\varepsilon}}

 


 

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Buon lavoro!

Agente Ω

 

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