Esercizi sul prodotto cartesiano

In questa scheda troverete una raccolta di esercizi svolti sul prodotto cartesiano. Prima di iniziare sarebbe però opportuno dare un'occhiata alla definizione e ai vari modi di rappresentazione del prodotto cartesiano tra due insiemi (click!) che saranno indispensabili per poi affrontare gli esercizi proposti di seguito.

 

Esercizi sul prodotto cartesiano di insiemi con soluzioni

 

1) Dati gli insiemi A={x | x è una lettera della parola you} e B={x | x è una lettera della parola math} scrivere almeno 5 elementi del prodotto cartesiano AxB ed almeno 5 elementi del prodotto cartesiano BxA.

 

Soluzione

 

Scriviamo i due insiemi per elencazione

 

A=\{y,\ o,\ u\}\ \ \ \ \ \ B=\{m,\ a,\ t,\ h\}

 

Allora 5 elementi di AxB sono: (y, m), (y, a), (y, t), (y, h), (o, m) mentre cinque elementi di BxA sono le seguenti coppie ordinate (m, y), (m, o), (m, u), (a, y), (a, o). Provate voi a scriverne tutte le altre Wink

 

 

2) Rappresentare con un diagramma cartesiano il prodotto tra l'insieme A={a, e, i} e se stesso. Quale sarà la cardinalità di tale insieme? Rispondere ancor prima di darne la rappresentazione.

 

Svolgimento

 

La cardinalità dell'insieme A è pari a 3. Pertanto l'insieme prodotto cartesiano AxA avrà  3 \cdot 3 = 9 elementi. La rappresentazione col diagramma cartesiano sarà

 

 

Prodotto cartesiano di un insieme con se stesso

 

 

3) Dati gli insiemi A={1, 2, 3}, B={2, 4, 6} e C={3, 4, 5} dimostrare che vale la proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all'intersezione tra insiemi, cioè provare che:

 

\mbox{A} \times (\mbox{B} \cap \mbox{C})=(\mbox{A} \times \mbox{B}) \cap (\mbox{A} \times \mbox{C})

 

Soluzione

 

Prendiamo il primo membro \mbox{A} \times (\mbox{B} \cap \mbox{C}) ed iniziamo col ricavarci l'insieme intersezione \mbox{C} \cap \mbox{B}=\{4\}. Fatto questo diamo, ad esempio, una rappresentazione tabulare del primo membro.

 

\begin{array}{|c||c|} \cline{1-2}\mbox{{\color{Blue}A}} \times ({\color{Red}\mbox{B} \cap \mbox{C}}) & {\color{Red}4} \\ \cline{1-2} {\color{Blue}1} & ({\color{Blue}1},{\color{Red}4}) \\ \cline{1-2} {\color{Blue}2} & ({\color{Blue}2},{\color{Red}4}) \\ \cline{1-2} {\color{Blue}3} & ({\color{Blue}3},{\color{Red}4}) \\ \cline{1-2} \end{array}

 

Dove in blu abbiamo rappresentato gli elementi di A ed in rosso gli elementi di \mbox{B} \cap \mbox{C}

 

Per quanto riguarda il secondo membro (\mbox{A} \times \mbox{B}) \cap (\mbox{A} \times \mbox{C}) altro non è se non l'insieme intersezione tra due prodotti cartesiani. Iniziamo proprio da essi procedendo sempre con la rappresentazione tabulare:

 

 

\begin{array}{|c||c|c|c|} \cline{1-4}\mbox{{\color{Blue}A}} \times {\color{Red}B} & {\color{Red}2} & {\color{Red}4} & {\color{Red}6} \\ \cline{1-4} {\color{Blue}1} & ({\color{Blue}1},{\color{Red}2}) & ({\color{Blue}1},{\color{Red}4}) & ({\color{Blue}1},{\color{Red}6}) \\ \cline{1-4} {\color{Blue}2} & ({\color{Blue}2},{\color{Red}2}) & ({\color{Blue}2},{\color{Red}4}) & ({\color{Blue}2},{\color{Red}6}) \\ \cline{1-4} {\color{Blue}3} & ({\color{Blue}3},{\color{Red}2}) & ({\color{Blue}3},{\color{Red}4}) & ({\color{Blue}3},{\color{Red}6}) \\ \cline{1-4} \end{array}

 

 

\begin{array}{|c||c|c|c|} \cline{1-4}\mbox{{\color{Blue}A}} \times {\color{Red}C} & {\color{Red}3} & {\color{Red}4} & {\color{Red}5} \\ \cline{1-4} {\color{Blue}1} & ({\color{Blue}1},{\color{Red}3}) & ({\color{Blue}1},{\color{Red}4}) & ({\color{Blue}1},{\color{Red}5}) \\ \cline{1-4} {\color{Blue}2} & ({\color{Blue}2},{\color{Red}3}) & ({\color{Blue}2},{\color{Red}4}) & ({\color{Blue}2},{\color{Red}5}) \\ \cline{1-4} {\color{Blue}3} & ({\color{Blue}3},{\color{Red}3}) & ({\color{Blue}3},{\color{Red}4}) & ({\color{Blue}3},{\color{Red}5}) \\ \cline{1-4} \end{array}

 

 

e troviamone infine l'intersezione ovvero le coppie ordinate comuni ad entrambe le tabelle. Esse sono proprio: (1, 4), (2, 4), (3, 4).

 

 

4) Con gli stessi insiemi dell'esercizio precedente provare che vale la proprietà distributiva del prodotto cartesiano rispetto all'unione di insiemi.

 

 

5) Vero o falso? Giustificare le risposte:

 

a) il prodotto cartesiano gode della proprietà commutativa;

 

b) il prodotto cartesiano di un insieme A con l'insieme vuoto è uguale all'insieme A;

 

c) se A ha 3 elementi e B ha 2 elementi AxB avrà 32=9 elementi;

 

d) dati due insiemi A e B, gli insiemi prodotto cartesiano AxB e BxA hanno la stessa cardinalità;

 

e) è sempre possibile eseguire il prodotto cartesiano tra due insiemi finiti.

 

Soluzioni

 

a) Falso. Basta ricordare la definizione di prodotto cartesiano tra due insiemi, secondo la quale si vengono a formare coppie ordinate di elementi.

 

b) Falso. Il prodotto cartesiano di un insieme con l'insieme vuoto è proprio l'insieme vuoto.

 

c) Falso. il prodotto cartesiano ha 3 \cdot 2 = 6 elementi.

 

d) Vero.

 

e) Vero.

 

 

6) Dalla seguente rappresentazione sagittale del prodotto cartesiano scrivi una rappresentazione intensiva degli insiemi A e B e ricava le coppie che formano il prodotto cartesiano AxB

 

 

Esercizio prodotto cartesiano con rappresentazione sagittale

 

 

Svolgimento

 

Una rappresentazione per caratteristica dei due insiemi potrebbe essere:

 

A={x | x è un numero naturale dispari compreso tra 10 e 18}, B={x | x è un numero naturale pari compreso tra 1 e 7}.

 

Le coppie ordinate che andranno a formare il prodotto cartesiano AxB saranno 12 (perché?) e nello specifico: (11, 2), (11, 4), (11, 6), (13, 2), (13, 4), (13, 6), (15, 2), (15, 4), (15, 6), (17, 2), (17, 4), (17, 6).

 

 


 

Basta così. Laughing Ormai dovreste aver preso la mano! Se qualcosa dovesse essere poco chiara date un'occhiata alla lezione correlata (click sull'immagine in basso) e, se non dovesse bastare, fai la tua domanda sul Forum.

 

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione correlata


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