Esercizi sull'insieme delle parti

Di seguito troverete degli esercizi svolti sull'insieme delle parti che vi aiuteranno a prendere confidenza e ricordare meglio questo interessantissimo concetto che ti porterai avanti fino al mondo universitario. Per vedere nel dettaglio cosa si intende con insieme delle parti di un insieme ti basta un click!

 

Esercizi risolti sull'insieme delle parti

 

1) Sia A={a, b, c}. Determinarne l'insieme delle parti.

 

Svolgimento: iniziamo con lo scrivere i sottoinsiemi propri ed impropri dell'insieme A.

 

Sottoinsiemi impropri: \mbox{A}, \ \emptyset 

 

Sottoinsiemi propri di un elemento: {a}, {b}, {c}

 

Sottoinsiemi di due elementi {a, b} {a, c} {b, c}

 

Pertanto \mathcal{P}(\mbox{A})=\big\{ \mbox{A}, \ \emptyset, \ \{a\}, \ \{b\}, \ \{c\}, \ \{a,b\}, \ \{a, c\}, \ \{b,c\}\big\}

 

 

2) Quanti elementi ha l'insieme delle parti di un insieme di cardinalità 5 ?

 

Soluzione: 2^5=32 elementi.

 

 

3) Esistono insiemi delle parti aventi ordine 30 ?

 

No! In quanto il numero degli elementi dell'insieme delle parti è una potenza di 2. Non essendo 30 una potenza di 2 non potranno esistere insiemi delle parti di 30 elementi.

 

 

4) Dati gli insiemi A={1, 2, 3} e B={3, 4, 5} quanti elementi avrà l'insieme delle parti della loro intersezione

 

Svolgimento: dobbiamo trovare \mathcal{P}(\mbox{A} \cap \mbox{B}). Iniziamo quindi dal trovarne l'intersezione che ovviamente è data da: \mbox{A} \cap \mbox{B}=\{3\} formata quindi da un solo elemento. Allora

 

\mbox{card}[\mathcal{P}(\mbox{A} \cap \mbox{B})]=2^1=2

 

 

5) Se A={x|x è una lettera della parola lava} e

 

B={x|x è una lettera della parola luna}

 

quanti e quali saranno gli elementi dell'insieme delle parti dell'insieme differenza

 

\mbox{A}-\mbox{B} e \mbox{B}-\mbox{A} ?

 

Soluzione: scriviamo i due insiemi con la rappresentazione estensiva:

 

A={l, a, v} e B={l, u, n, a}. Allora

 

\mbox{A}-\mbox{B}=\{v\} \ \mbox{e} \ \mbox{B}-\mbox{A}=\{u, \ n\}

 

Pertanto \mathcal{P}(\mbox{A}-\mbox{B}) avrà 2 elementi che saranno l'insieme vuoto e lui stesso, mentre \mathcal{P}(\mbox{B}-\mbox{A}) avrà 22=4 elementi dati da:

 

\mathcal{P}(\mbox{B}-\mbox{A})=\mathcal{P}(\{u, \ n\})=\big\{ \emptyset, \ \{u, \ n\}, \ \{u\}, \ \{n\} \big\}

 

 

6) Trova l'insieme delle parti del complementare di A={x|x è una lettera della parola you} rispetto all'insieme

 

E={x | x è una lettera della parola youmath}

 

Svolgimento: A={y, o, u} mentre E={y, o, u, m, a, t, h}. Allora il complementare di A rispetto ad E è dato da: AE={m, a, t, h} il cui insieme delle parti è formato da 24=16 elementi che saranno:

 

{m}, {a}, {t}, {h}, {m, a}, {m, t}, {m, h}, {a, t}, {a, h}, {t, h}, {m, a, t}, {m, a, h}, {m, t, h}, {a, t, h}, {m, a, t, h}, \emptyset

 

 

7) [Per i più grandicelli] Determina l'insieme delle parti dell'insieme

 

\mbox{A}=\{x|x \in \mathbb{N}, \ x \ \grave{e} \ soluzione \ dell'equazione \ (x+1)(x-2)(x-3)=0\}

 

Le soluzioni di tale equazione sono x=-1 che non appartiene all'insieme dei numeri naturali e x=2, x=3 che invece appartengono, ovvero: A={2, 3}. Allora

 

\mathcall{P}(\mbox{A})=\bog\{ \{2\}, \ \{3\}, \ \{2, 3\}, \ \emptyset \big\}

 

 


 

Ormai dovreste aver capito come ci si deve muovere davanti a questo genere di esercizi. Se però doveste avere ancora dubbi o difficoltà di qualsiasi genere non esitate a porci la vostra domanda sul Forum! :)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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