Esercizi sulla differenza simmetrica

In quest'articolo abbiamo raccolto un po' di esercizi svolti sulla differenza simmetrica tra insiemi in modo che possiate familiarizzare ancor meglio con questa operazione insiemistica.

 

Ricordiamo che, dati due insiemi A e B si dice differenza simmetrica tra A e B e si indica con \mbox{A} \Delta \mbox{B} l'unione tra i due insiemi differenza \mbox{A}-\mbox{B} e \mbox{B}-\mbox{A}. Per approfondire abbiamo un'intera lezione a riguardo che puoi raggiungere con un click sul link precedente. Ora occupiamoci degli esercizi...

 

Esercizi risolti sulla differenza simmetrica

 

1) Dati gli insiemi A={1, 2, 3, 4, 5} e B={1, 5, 7, 8, 9,} trova, utilizzando i diagrammi di Eulero Venn \mbox{A} \Delta \mbox{B} \ \mbox{e} \ \mbox{B} \Delta \mbox{A}. Vale la proprietà commutativa? 

 

Soluzione: abbiamo visto che, per definizione

 

\mbox{A} \Delta \mbox{B}=\mbox{A}-\mbox{B} \cup \mbox{B}-\mbox{A}

 

e quindi, allo stesso modo:

 

\mbox{B} \Delta \mbox{A}=\mbox{B}-\mbox{A} \cup \mbox{A}-\mbox{B}

 

La proprietà commutativa è quindi verificata. Per trovare la differenza simmetrica dobbiamo innanzitutto trovare la differenza tra insiemi. Rappresentiamo il tutto graficamente:

 

 

esercizio-differenza-simmetrica

 

 

Ora la differenza tra A e B è data dalla parte in blu, quindi

 

\mbox{A}-\mbox{B}=\{2, \ 3, \ 4\}

 

Mentre la differenza tra B ed A (parte in rosso)

 

\mbox{B}-\mbox{A}=\{7, \ 8, \ 9\}

 

Allora possiamo concludere che

 

\mbox{A} \Delta \mbox{B} = \mbox{B} \Delta \mbox{A} = (\mbox{A}-\mbox{B}) \cup (\mbox{B}-\mbox{A})=\{2, \ 3, \ 4, \ 7, \ 8, \ 9\}.

 

 

2) Dato l'insieme \mbox{A}=\{a, \ b, \ c, \ d, \ e\}

 

trova l'insieme B in modo tale che \mbox{A} \Delta \mbox{B}=\{a, \ b, \ c, \ f \}

 

Soluzione: ricordando com'è definita la differenza simmetrica, ovvero è formata dagli elementi che appartengono all'unione ma non all'intersezione dei due insiemi A e B, di sicuro l'insieme B non dovrà avere gli elementi a, b, c e dovrà invece contenere f, d ed e, gli ultimi dei quali andranno a finire nell'intersezione e quindi saranno fuori dalla differenza simmetrica.

 

Allora \mbox{B}=\{d, \ e, \ f \}. Per una conferma rappresentiamo il tutto coi diagrammi di Eulero Venn:

 

 

Esercizio sulla differenza simmetrica

 

 

3) Preso l'insieme B={x | x è una lettera della parola piano}

 

trova A in modo tale che

 

\mbox{A} \Delta \mbox{B}={x | x è una lettera della parola panino}.

 

Soluzione: scriviamo i due insiemi per elencazione

 

B={p, i, a, n, o}

 

\mbox{A} \Delta \mbox{B} = \{p, \ a, \ n, \ i, \ o\}

 

Come potete notare i due insiemi sono uguali ovvero hanno esattamente gli stessi elementi. Ne segue quindi che, necessariamente, A deve essere l'insieme vuoto, ovvero: \mbox{A}=\emptyset

 

 

4) Dati gli insiemi:

 

A={x | x è un numero naturale pari compreso tra 1 e 13} 

B={x | x è un numero naturale dispari compreso tra 0 e 10}

D=AC ovvero D è il complementare dell'insieme A rispetto all'insieme

E={x | x è un numero naturale maggiore di zero e minore di 14}

 

trova l'insieme \mbox{A} \Delta (\mbox{B} \Delta \mbox{D}).

 

Soluzione: come sempre il modo migliore di procedere è quello di esplicitare gli insiemi dati.

 

A={2, 4, 6, 8, 10, 12}

B={1, 3, 5, 7, 9}

E={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13}

 

e quindi D essendo il complementare di A rispetto ad E è definito come la differenza insiemistica tra i due, ovvero:

 

\mbox{D}=\mbox{E}-\mbox{A}=\{1, \ 3, \ 5, \ 7, \ 9, \ 11 \ 13\}

 

Possiamo quindi ora procedere a trovare quanto chiesto dall'esercizio.

 

\mbox{B} \Delta \mbox{D} = \{11, \ 13\}

 

da cui

 

\mbox{A} \Delta (\mbox{B} \Delta \mbox{D})=\{2, \ 4, \ 6, \ 8, \ 10, \ 11, \ 12, \ 13\}

 

 

5) Vero o Falso? Giustifica le risposte

 

a) Se \mbox{A} \cap \mbox{B} = \emptyset allora \mbox{A} \Delta \mbox{B}=\mbox{A} \cup \mbox{A}

 

b) La differenza simmetrica gode della proprietà associativa

 

c) Dati \mbox{A}=\{a, \ b, \ c\}, \ \ \mbox{B}=\{c, \ d, \ e\} la loro differenza simmetrica è data da \mbox{A} \Delta \mbox{B} = \{a, \ b, \ c, \ d, \ e\}


d) Se \mbox{A} \Delta \mbox{B} = \emptyset allora \mbox{A} = \mbox{B}

 

e) Se \mbox{A} \Delta \mbox{B} = \emptyset allora \mbox{A} = \emptyset oppure \mbox{B} = \emptyset

 

Soluzioni

 

a) Vero. Infatti \mbox{A} \Delta \mbox{B} è dato dagli elementi dell'unione che non appartengono all'intersezione quindi, se l'intersezione è vuota allora \mbox{A} \Delta \mbox{B}=\mbox{A} \cup \mbox{A}

 

b) Vero. Potresti provarlo coi diagrammi di Eulero Venn

 

c) Falso. \mbox{A} \Delta \mbox{B} = \{a, \ b, \ d, \ e\}. Dobbiamo infatti escludere gli elementi dell'intersezione

 

d) Vero. Se la differenza simmetrica non ha elementi vuol dire che i due insiemi sono uguali ragion per cui tutti gli elementi staranno nell'intersezione

 

e) Falso. Attenzione però! È vera se entrambi sono uguali all'insieme vuoto.

 

 

6) Dimostra coi diagrammi di Eulero Venn la proprietà distributiva dell'intersezione: \mbox{A} \cap (\mbox{B} \Delta \mbox{C}) = (\mbox{A} \cap \mbox{B}) \Delta (\mbox{A} \cap \mbox{C})

 

Iniziamo col rappresentare il primo membro, ovvero: \mbox{A} \cap (\mbox{B} \Delta \mbox{C})

 

 

Proprietà distributiva dell'intersezione rispetto alla differenza simmetrica tra insiemi

 

 

Mentre il secondo membro: (\mbox{A} \cap \mbox{B}) \Delta (\mbox{A} \cap \mbox{C}) è dato da:

 

 

Proprietà distributiva dell'intersezione rispetto alla differenza simmetrica tra insiemi 2

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione correlata


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