Esercizi sull'insieme universo

Una raccolta di esercizi svolti sull'insieme universo ci sembra il modo migliore per approfondire al meglio quanto già visto nella lezione che ci ha permesso di capire come costruire l'insieme universo di un dato insieme. Prima di procedere con gli esercizi ricordiamo brevemente che: un insieme \mbox{U} si dice insieme ambiente o insieme universo di un insieme \mbox{A} se A è un suo sottoinsieme proprio.

 

Esercizi risolti sull'insieme universo

 

1) Dire quali tra i seguenti insiemi possono essere considerati insieme universo dell'insieme A={2, 4, 6, 8, 20}:

 

U1={x | x è un numero naturale}

U2={x | x è un numero naturale pari compreso tra 1 e 21}

U3={x | x è un numero naturale pari}

U4={4, 6, 8, 10, 12, ,14, 16, 18, 20, 22}

 

Soluzione: tutti ad eccezione di Usono possibili insiemi universo dell'insieme A. U4 non va bene in quanto non contiene A. Osservate infatti che 2 \in \mbox{A}, \ \mbox{ma} \ 2 \notin \mbox{U_4}.

 

 

2) Scrivere tre possibili insiemi universo per l'insieme A={x | x è una lettera della parola magia}.

 

Svolgimento: i primi tre che mi vengono in mente (ce ne sono tanti altri) sono:

 

U1={x | x è una lettera dell'alfabeto italiano}

U2={x | x è una lettera dell'alfabeto inglese}

U3={a, b, c, g, h, i, l, m, n, p}

 

 

3) Osserva il seguente diagramma di Eulero Venn e da esso deduci l'insieme A ed il suo insieme universo.

 


Diagramma per un esercizio sull'insieme universo

 

 

Soluzione: ci basta riportare, ad esempio per elencazione, gli elementi dei due insiemi. Attenzione che nell'insieme U dobbiamo includere anche gli elementi dell'insieme A:

 

A={b, d, g, i, f, m}

U={b, d, g, i, f, m, a, c, e, l, h}

 

 

4) Vero o falso. Dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la tua risposta

 

a) Se B è un sottoinsieme proprio di A allora A può essere considerato un insieme universo per l'insieme B

 

b) Se B è un sottoinsieme proprio di A allora B può essere considerato un insieme universo per l'insieme A

 

c) Dati due insiemi qualsiasi e distinti A e B la loro unione è un insieme ambiente per la loro intersezione

 

d) L'insieme delle lettere dell'alfabeto italiano è un insieme universo per l'insieme A={c, d, e, f, g, k, m}

 

Soluzioni

 

a) Vero

b) Falso

 

Per convincersene basta ricordare la definizione di insieme universo o, ancor meglio, rappresentare coi diagrammi di Eulero Venn la situazione: B è un sottoinsieme proprio di A

 


Sottoinsieme proprio di un insieme universo

 

 

c) Vero. A patto che i due insiemi siano distinti l'intersezione sarà tutt'al più vuota o coinciderà con uno dei due insiemi ma ciò non toglie che sia comunque un sottoinsieme proprio dell'unione.

 

d) Falso, in quando c'è la lettera "k" che appartiene ad A ma non all'alfabeto italiano 

 

 

5) Scrivere tre insiemi non equipollenti che abbiano come insieme universo U={x|x è un multiplo di 5 minore di 100}

 

Soluzione

 

A={10, 15, 20}

B={20, 25, 30, 35}

C={90}

 

sono tre insiemi che soddisfano le condizioni richieste

 

 


 

Per ora è tutto! :)

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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