Esercizi sulla cardinalità

Gli esercizi svolti che troverai in questa pagina serviranno a farti capire meglio i concetti di cardinalità di un insieme e di insiemi uguali ed equipotenti. Richiamiamo molto brevemente i concetti teorici che faranno da padrone in quest'articolo. Ti consigliamo comunque di leggere le lezioni dei precedenti link e quelle che troverai di seguito Laughing

 

Si dice cardinalità di un insieme finito il numero dei suoi elementi.

 

Due insiemi finiti si dicono equipotenti se hanno lo stesso numero di elementi o, per i più grandicelli, possiamo dire che due insiemi si dicono equipotenti se i loro elementi sono in corrispondenza biunivoca.

 

Due insiemi finiti si dicono uguali se hanno esattamente gli stessi elementi.

 

Esercizi risolti su cardinalità di un insieme ed insiemi equipotenti

 

1) Scrivere tre insiemi equipotenti all'insieme \mbox{A}=\{x\ |\ x \in \mathbb{N}, \ 2 \le x \textless 9\}

 

Soluzione: L'insieme A è formato da 7 elementi. Per rendersene conto basta rappresentarlo per elencazione:

 

\mbox{A}=\{2,\ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8\} (attenzione che il 9 è escluso)

 

La sua cardinalità (o ordine) è quindi pari a 7. Per scrivere tre insiemi ad esso equipotenti basta quindi inventare 3 insiemi con sette elementi. I primi che mi vengono in mente sono:

 

B={do, re, mi, fa, sol, la, si};

 

C={x | x è una lettera della parola YouMath};

 

D={x | x è uno dei sette nani} Tongue out

 

 

2) Stabilisci quali tra i seguenti insiemi sono equipotenti e per ciascuno scrivi la sua cardinalità.

 

A={x | x è un mese dell'anno di 30 giorni}

B={x | x è una stagione dell'anno}

C={x | x è una lettera della parola casa}

D={x | x è una lettera della parola fune}

E={t, r, e}

 

Svolgimento. Il modo migliore per contare gli elementi di un insieme è scriverli per elencazione:

 

A={Novembre, Aprile, Giugno, Settembre} -> 4 elementi;

B={Inverno, Primavera, Estate, Autunno} -> 4 elementi;

C={c, a, s} -> 3 elementi;

D={f, u, n, e} -> 4 elementi;

E={t, r, e} -> 3 elementi

 

Allora possiamo concludere che gli insiemi A, B, D sono tra loro equipotenti così come gli insiemi C ed E.

 

 

3) Vero o falso: dire se le seguenti affermazioni sono vere o false motivando la tua risposta

 

a) Due insiemi uguali sono equipotenti

b) Due insiemi equipotenti sono uguali

c) L'insieme vuoto ha cardinalità pari a 1

d) A={x!x è una lettera della parola fine} e B={x|x è una lettera della parola otto} sono equipotenti

e) A={x|x è una lettera della parola Salvatore} e B={x|x è una lettera della parola lavoraste} sono uguali

 

Soluzione

 

a) Vero. Infatti due insiemi si dicono uguali se hanno esattamente gli stessi elementi e di conseguenza tali elementi saranno in egual numero.

 

b) Falso. Avere lo stesso numero di elementi non vuol dire che siano gli stessi elementi.

 

c) Falso. L'insieme vuoto non ha elementi quindi ha cardinalità pari a zero

 

d) Falso. A={f, i, n, e} -> 4 elementi, B={o, t}-> 2 elementi

 

e) Vero. A={s, a, l, v, t, o, r, e}, B={l, a v, o, r, s, t, e}

 

 

4) Scrivi almeno tre insiemi unitari

 

A={1}, B={x|x è una vocale della parola tre}, C={è un numero naturale compreso tra 1 e 3} son tre esempi di insiemi unitari, cioè formati da un solo elemento.

 

 

5) Siano A={1, 2, 3, 4, 5, 6} e B={4, 5, 6, 7, 8}. Provare coi diagrammi di Eulero Venn che la differenza tra gli insiemi A e B è equipotente all'intersezione tra A e B.

 

Non dobbiamo far altro se non disegnare i due insiemi:

 

 esercizio-sugli-insiemi-equipotenti

 

 

Dove col colore verde abbiamo rappresentato \mbox{A}-\mbox{B} e col colore blu A \cap B. Entrambi hanno tre elementi e quindi possiamo concludere che sono equipollenti.

 

 

6) Quando, dati due insiemi qualsiasi A e B, possiamo dire che loro unione è uguale (e quindi equipotente) ad uno dei due insiemi?

 

Pensiamo un attimo a come si rappresenta l'unione tra due insiemi coi diagrammi di Eulero Venn:

 

 

Unione insiemistica tra due insiemi

 

 

Affinché tutta la parte colorata sia uguale ad uno dei insiemi l'altro, necessariamente, non deve avere elementi, cioè deve essere un insieme vuoto. In simboli:

 

\mbox{A} \cup \mbox{B} = A a patto che \mbox{B}=\emptyset

 

\mbox{A} \cup \mbox{B} = B se e solo se \mbox{A}=\emptyset

 

 

7) Quando l'intersezione tra due insiemi è uguale ad uno dei due?

 

Anche in questo caso aiutandoci coi Diagrammi di Eulero Venn possiamo dire che 

 

\mbox{A} \cap \mbox{B} = B se B è un sottoinsieme proprio di A

 

\mbox{A} \cap \mbox{B} = A a patto che A sia un sottoinsieme proprio di B, come mostrato in figura:

 

 

Sottoinsiemi propri ed insiemi equipotenti

 


 

Dovresti aver capito come bisogna ragionare in questo genere di esercizi. Se dovessi avere ancora dubbi o qualche esercizio che proprio ti assilla non esitare a porre la tua domanda sul Forum Wink

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

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