Risolvere gli esercizi di Probabilità con gli insiemi

Uno degli aspetti più affascinanti della Matematica è che alcuni concetti anche se all'apparenza possono sembrare tra loro estranei sono in realtà correlati ed è proprio questo il caso del Calcolo della Probabilità e dell'insiemistica. Questa semplice lezione è dedicata ai ragazzi delle Scuole Medie e vuole mostrare come usare la teoria degli insiemi per il calcolo delle probabilità.

 

Grazie alle nozioni insiemistiche siamo in grado di risolvere un gran numero di problemi sul calcolo delle probabilità in modo agevole e veloce! Non ci credete? Vediamo qualche esempio...

 

Esercizi di probabilità risolti con gli insiemi

 

1) In una classe di 25 alunni, 12 leggono libri di avventura, 10 di fantascienza e 2 amano entrambe queste letture. Calcola la probabilità che un amico scelto a caso:

 

a) legga libri di avventura

 

b) non ami leggere libri di fantascienza

 

c) non ami nessuna delle due letture

 

Svolgimento: iniziamo col rappresentare il tutto con un opportuno diagramma di Eulero-Venn che sarà formato da un rettangolo (rappresentante l'insieme universo che dovrà contenere in tutto 25 elementi -cioè il numero totale degli alunni) che all'interno avrà due insiemi, uno per i libri di avventura che indicheremo con A ed uno per quelli di fantascienza che indicheremo con F:

 

 

Diagramma EV da riempire

 

 

Ora vediamo come "riempirlo".

 

Poiché 2 studenti amano entrambe le letture metteremo un 2 in A \cap F.

 

Sappiamo poi che 12 studenti leggono libri di avventura. Poiché vi sono già 2 nell'intersezione all'interno di A metteremo un 10 che col 2 dell'intersezione ci darà un totale di 12 elementi nell'insieme A

 

Allo stesso identico modo metteremo un 8 all'interno di F che col 2 presente nell'intersezione ci darà un totale di 10 che son proprio quelli che leggono libri di fantascienza.

 

Infine essendo gli studenti in tutto 25 ed essendoci all'interno degli insiemi A ed F: 10+2+8=20 elementi, ovvero A \cup B = 20 si ha che al di fuori di essi ci sarà un 5:

 

 

Diagramma EV riempito

 

 

Arrivati a questo punto abbiamo finito. Semplicemente osservando il diagramma appena costruito e ricordando che il numero totale degli studenti è 25 si ha che:

 

a) P(A)=\frac{casi \ possibili}{casi \ favorevoli}=\frac{12}{25} poiché vi sono 12 elementi all'interno di A.

 

b) P(non \ F)= \frac{15}{25}=\frac{3}{5} in quanto vi sono 15 elementi al di fuori di F.

 

c) P(non \ A \cup F) = \frac{5}{25}=\frac{1}{5} in quanto vi sono 5 elementi al di fuori dell'unione.

 

Finito! Come avrete potuto notare basta quindi rappresentare in modo corretto il testo del problema con un diagramma di Eulero-Venn.

 

Consigli per risolvere gli esercizi di probabilità con gli insiemi

 

- Iniziare scrivendo il numero degli elementi dell'intersezione.

 

- Procedere man mano scrivendo il numero degli elementi all'interno di ogni insieme facendo attenzione al numero già inserito all'interno dell'intersezione.

 

- Se non dato già dal problema, ricavare il numero degli elementi che stanno al di fuori degli insiemi aiutandosi col numero totale.

 

- Verificare che la somma di tutti gli elementi dia il totale fornito dal problema.

 

 

Esempio 2)

 

Gli alunni di una classe sono 30. Di questi 10 giocano a calcio, 8 a pallavolo e 4 ad entrambi. Di un alunno scelto a caso, calcolare la probabilità che:

 

a) esso pratichi almeno uno dei due sport;

 

b) esso non pratichi nessuno dei due sport.

 

Svolgimento: lo schema del diagramma di Eulero-Venn è lo stesso del problema precedente. In questo caso indichiamo i due insiemi con C e con P, il primo dei quali conterrà il numero degli studenti che giocano a Calcio, il secondo quelli che giocano a Pallavolo.

 

Riempiamo il diagramma partendo dall'intersezione, di cui ne fan parte 4. Poiché 10 giocano a Calcio, tolti i 4 dell'intersezione, in C ci saranno 6 elementi e, procedendo allo stesso modo troveremo che in P ci saranno altri 4. Essendo in totale 30 ed avendo in C \cup P 14 elementi al di fuori ce ne saranno 30-14=16

 

 

Diagramma di EV esempio 2

 

 

Quindi:

 

a) P(C \cup P)=\frac{14}{30}=\frac{7}{15} poiché "almeno uno dei due" in simboli equivale all'unione e, come già detto, in C \cup P vi sono 14 elementi su un totale di 30

 

b) P(\mbox{non } (C\cup P))=\frac{16}{30} = \frac{8}{15}

 

 


 

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Buona Probabilità a tutti!

Giuseppe Carichino

 

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