Esercizi sull'insieme complementare

In questa scheda vogliamo proporvi una manciata di esercizi sul complementare di un insieme con soluzioni, per far sì che possiate prendere confidenza con il concetto di insieme complementare nel caso l'aveste studiato da poco.

 

Risolvere gli esercizi sull'insieme complementare

 

Non si può parlare di insieme complementare (click per la spiegazione completa) se non si ha ben chiaro il concetto di insieme universo. Cosa voglio dire? Le righe seguenti chiariranno tutto.

 

Si dice insieme universo o insieme ambiente di un insieme A, uno dei possibili insiemi che contengono l'insieme A come sottoinsieme.

 

L'insieme complementare di B rispetto all'insieme U_B (scelto come insieme universo diB) è l'insieme formato da tutti gli elementi di U_B che non appartengono a B e si indica con B^C.

 

Vediamo ora degli esecizi classici che potete seguire da modello per svolgere quelli assegnati dal vostro professore. ;)

 

 

1) Sia A=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ un \ numero \ pari \ compreso \ tra \ 1 \ e \ 9\}. Quali dei seguenti insiemi si può considerare un suo insieme universo? 

 

U_1=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ un \ numero \ naturale \}

 

U_2=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ un \ numero \ dispari \ compreso \ tra \ 0 \ e \ 10 \}

 

U_3=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ un \ numero \ pari \ compreso \ tra \ 1 \ e \ 99 \}

 

Soluzione: basta vedere quali tra gli insiemi proposti è un insieme che contiene A. Sia U_1 che U_3 possono essere considerati insiemi universo per l'insieme A.

 

 

2) Per ciascuno dei seguenti insiemi scrivine almeno uno che può essere considerato loro insieme universo:

 

a. A=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ un \ tuo \ compagno \ di \ classe \}

 

b. B=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ un \ numero \ pari \}

 

c. A=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ una \ vocale \}

 

Soluzione: basta scrivere per ciascun insieme proposto un insieme "più grande" che contiene quelli proposti. Ad esempio (le soluzioni possono essere molteplici)

 

a. U_A=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ uno \ studente \ della \ tua \ scuola \}

 

tale insieme contiene infatti l'insieme A perché un tuo compagno di classe frequenta necessariamente la tua scuola.

 

b. U_B=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ un \ numero \ naturale \}

 

in quanto i numeri pari sono particolari numeri naturali.

 

c. U_C=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ una \ lettera \ dell'alfabeto \}

 

infatti le vocali sono solo cinque fra tutte le lettere dell'alfabeto.

 

 

3) Dato l'insieme A=\{m, \ e, \ l, \ a\} determina il suo complementare rispetto all'insieme U_A=\{m, \ e, \ l, \ o, \ d, \ i, \ a\} e rappresentalo con un diagramma di Eulero-Venn.

 

Soluzione: l'insieme A^C ovvero il complementare di A rispetto ad U_A contiene gli elementi di U_A che non appartengono ad A, cioè:

 

A^C=\{o,\ d, \ i\}

 

Col diagramma di Eulero-Venn:

 

 

Diagramma EV per esercizio 3 sugli insiemi complementari

 

 

4) Scegliere tra le tre alternative proposte cosa rappresenta il seguente diagramma di Eulero-Venn

 

 

Diagramma EV esercizio 4 sugli insiemi complementari

 

 

a. A^C

 

b. (A\cap B)^C


c. (A\cup B)^C

 

Soluzione: la risposta corretta è ovviamente la b.

 

 

5) Considera i seguenti insiemi (rappresentati con un diagramma di Eulero-Venn) e scrivi per elencazione l'insieme complementare di B rispetto ad A

 

 

Diagramma EV esercizio 5 sugli insiemi complementari

 

 

Soluzione: B^C=\{mi, \ sol, \ la, \ si\}

 

 

6) determina l'insieme complementare rispetto all'insieme dei numeri naturali (escluso lo zero) dell'insieme dei multipli di 2

 

Soluzione: poiché i multipli di 2 altro non sono se non i numeri pari, il complementare di tale insieme rispetto all'insieme dei numeri naturali (escluso lo zero) è l'insieme dei numeri dispari.

 

 


 

E' tutto! Laughing

 

Dubbi? Problemi? Perplessità? Esercizi che proprio non tornano? Non disperare! Utilizzando la barra di ricerca troverai sicuramente la risposta a tutto e, se così non fosse, puoi sempre fare le tue domande sul Forum. Wink

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino

 

Lezione correlata


Tags: esercizi risolti sul complementare di un insieme e sulla complementazione in un insieme universo.