Esercizi sui sottoinsiemi

Vediamo qualche esercizio svolto sul concetto di sottoinsieme di un insieme: leggendo e provando a risolvere da solo i seguenti esercizi potrai prendere confidenza con la nozione di sottoinsieme, nel caso in cui non avessi già letto la lezione del link ti consigliamo vivamente di farlo.

 

Richiamiamo brevemente i concetti teorici che saranno alla base dei nostri esercizi:

 

Un insieme B è un sottoinsieme proprio di A se ogni elemento di B appartiene ad A ma non viceversa. In simboli matematici:

 

B\subset A e si legge "B sottoinsieme proprio di A" o ancora "B contenuto in A" oppure

 

A\supset B e si legge "B sottoinsieme proprio di A" o, per capirci meglio: "A contiene B" 

 

Esercizi risolti sui sottoinsiemi 

 

1) Inserisci l'insieme mancate in modo che risulti: B \subset A

 

a. B=\{a, \ e, \ i \}\ \to\ A=\{ ..., \ ..., \ ..., \ ..., \ ... \}

 

b. B=\{mammolo, \ pisolo, \ brontolo, \ \}\ \to \ A=\{x\ |\ x \ ........ \}

 

c. B=\{..., \ ..., \ ..., \ ...\}\ \to \ A=\{x|x \ \grave{e} \ una \ preposizione \ semplice\}

 

d. B=\{y, \ o, \ u, \ m, \ a, \ t\}\ \to\ A=\{x|x \ ........ \}

 

Soluzione:

 

a. L'insieme B contiene tre vocali, ragion per cui affinché sia un sottoinsieme proprio di A, quest'ultimo deve contenere tutte le vocali, cioè A=\{a, \ e, \ i, \ o, \ u\}.

 

b. Riconoscerete nell'insieme B i nomi di tre dei sette nani. Dovendo scrivere l'insieme A per caratteristica scriveremo: A=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ uno \ dei \ sette \ nani\}.

 

c. Ora dobbiamo trovare B (sottoinsieme) conoscendo "l'insieme grande" A formato dalle proposizioni semplici. Confidando nelle vostre conoscenze della grammatica italiana Tongue out un possibile sottoinsieme di A è B=\{di, \ a, \ da, \ in\}. Ce ne sono molti altri.. lascio a voi il compito di trovarli. Innocent

 

d. Nell'insieme B si nota subito la presenza delle prime sei lettere della parola YOUMATH. Dovendo scrivere A per caratteristica: A=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ una \ lettera \ della \ parola \ "YOUMATH"\}

 

 

2) Dopo aver osservato attentamente la seguente figura completa le relazioni inserendo al posto dei puntini i simboli corretti:

 

 

Esercizio sui sottoinsiemi

 

 

Soluzione: poichè tutti gli elementi di A stanno in B, ma A è diverso da B:

 

A \subset B  e   B \supset A

 

 

Soluzione esercizio sui simboli dei sottoinsiemi

 

 

Si vede subito che C è contenuto sia in B che in A e che B è contenuto in A. Allora:

 

B \supset A \supset C

 

C \subset A \subset B

 

 

3) Considera gli insiemi:

 

A=\{1, \ 2, \ 3, \ 4\}

B=\{2, \ 3, \ 5, \ 6\}

C=\{1, \ 2, \ 3\}

 

e stabilisci quali tra le seguenti relazioni sono corrette motivandone la risposta:

 

a. A \supset B

 

b. B \supset A

 

c. A \subset C

 

d. C \subset A

 

Soluzione: l'unica corretta fra le quattro alternative proposte è la d. infatti tutti gli elementi di C sono contenuti in A, ragion per cui è ovviamente falsa la c.

 

a. e b. sono anch'esse false in quanto in A vi sono gli elementi 1 e 4 che non appartengono a B e in B vi sono gli elementi 5 e 6 che non appartengono ad A

 

 

4) Rappresenta graficamente con un opportuno diagramma di Eulero Venn i seguenti insiemi:

 

A=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ un \ numero \ naturale \ minore \ di \ 10 \}

 

B=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ un \ numero \ naturale \ pari \ tra \ 1 \ e \ 5 \}

 

C=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ un \ numero \ naturale \ pari \ tra \ 1 \ e \  9 \}

 

Soluzione: Per renderci meglio conto della situazione scriviamo prima gli insiemi per elencazione:

 

A=\{0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, \ 6, \ 7, \ 8, \ 9\}

 

B=\{2, \ 4 \}

 

C=\{2, \ 4, \ 6, \ 8 \}

 

Scritti in questo modo si vede immediatamente che tutti gli elementi di B stanno in C e tutti gli elementi di C stanno in A quindi la giusta rappresentazione grafica è la seguente

 

 

Figura esercizio 4 sui sottoinsiemi

 

 

5) Rappresenta graficamente la seguente situazione:

 

C \supset A \not\subset B \subset C

 

Soluzione: potrebbe sembrare difficile, ma non lo è assolutamente. "Traduciamo" la scrittura:

 

"C contiene A, A non è contenuto in B, B è contenuto propriamente in C"

 

Abbiamo quindi due insiemi A e B entrambi contenuti in C, ma A non è un sottoinsieme di B, cioè:

 

 

Figura - esercizio 5 sui sottoinsiemi

 

 


 

Per questa lezione è tutto. Proseguendo troverete un bel po' di esercizi sull'intersezione e sull'unione tra insiemi! Nel frattempo per ogni dubbio potete trovare le risposte che vi servono con la barra di ricerca di YM, ed eventualmente aprire una discussione nel Forum.

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino

 

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