Esercizi sulle proprietà e sulla rappresentazione degli insiemi

Gli esercizi che ti proponiamo in questa pagina servono a farti prendere confidenza col concetto di insieme e con i vari tipi di rappresentazione; avremo particolare riguardo per gli esercizi sulle proprietà degli insiemi e per quelli sulla rappresentazione degli insiemi. Iniziamo! 

 

Prima di procedere con gli esercizi veri e propri ricordiamo le semplici proprietà che utilizzeremo.

 

Per insieme matematico (click!) si intende un raggruppamento di elementi definibili con precisione.

 

Un insieme è finito quando è formato da un numero limitato di elementi

 

Un insieme è infinito quando è formato da un numero illimitato di elementi

 

Un insieme si dice vuoto quando è privo di elementi e si indica col simbolo \emptyset oppure con \{ \ \}

 

Esercizi sulle proprietà degli insiemi

 

1) Indica quali dei seguenti raggruppamenti rappresentano un insieme matematico e spiega il perché:

 

a. l'insieme delle vocali presenti nel tuo cognome;

 

b. l'insieme dei numeri naturali minori di cinque;

 

c. le più belle città d'Italia;

 

d. gli stati d'Europa;

 

e. i compagni più simpatici della tua classe.

 

Soluzione: abbiamo precedentemente ricordato che un insieme matematico è un raggruppamento (finito o infinito) di elementi definiti con precisione. Ricordando questo:

 

a. in un qualsiasi cognome e quindi in particolare nel tuo, le vocali presenti son ben definite, quindi quello proposto è un insieme.

 

b. I numeri naturali sono 0, \ 1, \ 2, \ 3, \ 4, \ 5, ... e così via.. i numeri naturali minori di cinque sono quindi ben distinti. Quello proposto è allora un insieme matematico. 

 

c. "Le più belle città di Italia" non può considerarsi un insieme matematico per il semplice fatto che l'idea di bellezza è un qualcosa di personale. Ad esempio Roma più essere bella per alcuni e brutta per altri e così via per tutte le altre città italiane. Non essendo quindi i suoi elementi ben distinti quello dato non è un insieme

 

d. Gli Stati d' Europa invece sono definiti esattamente ragion per cui quello proposto è un insieme matematico

 

e. Anche qui, come nell'esempio c. la simpatia è qualcosa di soggettivo e personale quindi non siamo di fronte ad un insieme.

 

 

2) Individua quali dei seguenti insiemi sono vuoti, quali finiti e quali infiniti:

 

a. l'insieme dei numeri naturali minori di zero;

 

b. l'insieme dei multipli di cinque;

 

c. L'insieme delle consonanti della parola LIBRO;

 

d. l'insieme dei tuoi compagni di classe nati nel 1912.

 

Soluzione:

 

a. abbiamo prima visto che i numeri naturali partono da zero ragion per cui non esistono numeri naturali minori di zero e quindi quello proposto è un insieme vuoto.

 

b. i multipli di cinque sono: 5, \ 10, \ 15, \ 20, \ 25 \ ... vi chiedo: c'è una fine? Evidentemente no. Ragion per cui l'insieme dato è un insieme infinito.

 

c. Le consonanti della parola LIBRO sono: L,B,R e non ve ne sono altre. L'insieme dato è quindi finito.

 

d. A patto che non abbiate un compagno di classe di oltre 100 anni Tongue out l'insieme è vuoto.

 

 


 

 

Ricordiamo ora come si può rappresentare un insieme per poi vedere qualche esercizio. Un insieme matematico si può rappresentare in tre modi:

 

A) rappresentazione per elencazione: si scrive la lettera maiuscola con la quale si vuole indicare l'insieme, seguita da un uguale e da una parentesi graffa, si scrivono separati da virgole i suoi elementi e si chiude la parentesi.

 

B) rappresentazione per caratteristica: si deve scrivere all'interno di una coppia di parentesi graffe la "proprietà" che caratterizza l'insieme.

 

C) Forma grafica: si utilizzano i diagrammi di Eulero-Venn che sono formati da una sorta di cerchio ovalizzato all'interno del quale si segnano con un punto, seguito da un nome, gli elementi 

 

Esercizi sulla rappresentazione degli insiemi

 

3) Rappresenta in tutti i modi che conosci l'insieme A formato dalle lettere della parola "bicchiere".

 

Soluzione: conosciamo tre modi (prima ricordati) per rappresentare un insieme:

 

a. La rappresentazione per elencazione è

 

A=\{b, \ i, \ c, \ h, \ e, \ r\}

 

b. Quella per caratteristica è

 

A=\{x\ |\ x \ \grave{e} \ una \ lettera \ della \ parola \  "bicchiere"\}

 

dove x|x si legge "x tale che x" ed è sempre utilizzata nella rappresentazione per caratteristica.

 

c. Col diagramma di Eulero-Venn

 

 

Figura 1 - esercizio sui diagrammi di Eulero Venn

 

 

Osserva bene che gli elementi c, \ i, \ e anche se son presenti due volte nella parola "bicchiere" vengono scritti una sola volta nella rappresentazione grafica e per elencazione.

 

 

4) Rappresenta nei tre modi che conosci l'insieme B formato dai numeri naturali pari compresi tra 3 e 17

 

a. Per elencazione: basta mettere tra parentesi graffe i numeri che formano l'insieme:

 

B=\{4, \ 6, \ 8, \ 10, \ 12, \ 14, \ 16\}

 

b. Per caratteristica: B=\{x \ | \ x \ \grave{e} \ un \ numero \ pari \ tra \  3 \ e \ 17 \}

 

c. Con i diagrammi di Eulero Venn

 

 

Esercizio 2 rappresentazione dei diagrammi di Eulero Venn

 

 


 

Finito! Nulla di difficile o di impossibile.. serve solo capire bene quei pochi concetti che sono alla base.

 

Nella prossima scheda vedremo un bel po' di esercizi sui sottoinsiemi di un insiemeWink Nel frattempo se dovessi avere dubbi trova le risposte che ti servono con la barra di ricerca di YM, ed eventualmente apri una discussione nel Forum.

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino

 

Lezione correlata..........Lezione correlata


Tags: esercizi con soluzioni sui diagrammi di Eulero Venn - esercizi sulla rappresentazione degli insiemi per elencazione, per caratteristica e con il metodo grafico.