Esercizi sulle equazioni fratte di primo grado - Advanced

Benvenuti nella scheda advanced sulle equazioni fratte di primo grado! Potete trovare la teoria e degli esempi riguardanti questi esercizi nell'articolo equazioni di primo grado fratte ad un'incognita.

 

Esercizio risolto sulle equazioni fratte di primo grado (Advanced)

 

Risolvere le seguenti equazioni cercando le soluzioni negli insiemi numerici indicati. Utilizzeremo questa notazione:

 

\mathbb{N} per i numeri naturali, \mathbb{Z} per i numeri relativi, \mathbb{R} per i numeri reali

 

Visto che la tipologia di esercizio varia rispetto alle schede beginner ed intermediate, svolgeremo esplicitamente il primo esercizio, in modo da lasciarvi una traccia.

 

 

I) \frac{x}{x+1}-\frac{x}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}+\frac{125}{x^2-1}=0\mbox{, con }x\in\mathbb{N}

 

 

Svolgimento

 

 

1. Procediamo normalmente alla soluzione dell'equazione come se quel \mbox{ con }x\in\mathbb{N} non fosse nemmeno scritto, ce ne occuperemo alla fine.

 

Scriviamo l'equazione in una forma migliore:

 

\frac{x(x-1)-x(x+1)+(x-1)^2-(x+1)^2+125}{x^2-1}=0

 

2. Determiniamo le condizioni di esistenza ponendo D(x)\neq 0:

 

x^2-1\neq 0, cioè (x-1)(x+1)\neq 0, quindi x\neq \pm 1.

 

3. Cerchiamo i valori di x per cui si annulla il numeratore, risolvendo N(x)= 0:

 

x(x-1)-x(x+1)+(x-1)^2-(x+1)^2+125= 0

 

sviluppando i calcoli si ottiene

 

x^2-x-x^2-x-4x+125= 0, \ \mbox{ovvero} \ -6x+125= 0

 

Quindi perché il numeratore si annulli deve essere x=\frac{125}{6}.

 

4. Confrontiamo la soluzione ottenuta con le condizioni di esistenza: sono diverse, dunque possiamo accettare la soluzione.

 

5. Verifichiamo che la soluzione che abbiamo trovato stia proprio nell'insieme di numeri indicato nel testo dell'esercizio. In questo caso era richiesto che x appartenesse ai numeri naturali, la soluzione che abbiamo trovato x=\frac{125}{6} \simeq 20,8 che non è decisamente naturale e quindi non è accettabile.

 

Morale della favola: la nostra equazione non ha soluzioni in \mathbb{N}.

 

Esercizi proposti sulle equazioni fratte di primo grado (Advanced)

 

II) \frac{\frac{x+3}{x+1}}{\frac{x-1}{2x}}-\frac{\frac{x-3}{x-1}}{\frac{x+1}{2x}}=-\left(\frac{3}{x-1}+\frac{4}{x+1}\right)\mbox{, con }x\in\mathbb{Z}

 

III) \frac{1}{3x-2}-\frac{1}{3x+2}=\frac{4}{(3x-2)^2}\mbox{, con }x\in\mathbb{R}

 

IV) \frac{\frac{3x}{3x-3}}{\frac{x+1}{x-1}}-\frac{\frac{5x+4}{4x+4}}{\frac{x-1}{x+1}}=\frac{\frac{x^2+1}{2}}{3(x^2-1)}\mbox{, con }x\in\mathbb{Z}

 

V) \frac{2-\frac{2x^2}{(x+2)(x-1)}}{2-\frac{2x^2}{(x+2)(x+1)}}=\frac{1}{3}\mbox{, con }x\in\mathbb{Z}

 

VI) \left[\frac{(x-1)(x+2)x}{(x-3)(1-x)}-\frac{(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-x)(\sqrt{3}-x)(x+3)}\right]:\left[\frac{1}{2(-1)^2(-\frac{1}{2})2}\right]=

 

=\left[\frac{\sqrt{9}}{x-3}+\frac{\sqrt{16x^2}-9x+1}{(x+3)(x-3)}\right]\mbox{,  con }x\in\mathbb{Z}

 

VII) \frac{3x}{x+3}+\frac{1}{2(x+3)}+x=0

 

VIII) \frac{\sqrt{(x+1)^2}}{3x}+9-\frac{1}{3}=0

 

IX) \frac{(x+1)(x-1)}{x+2}-x=0

 

X) \frac{2(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}+\left(\frac{1}{2}\right)^2x+\frac{3}{2x+5}=0

 

 


 

 

Soluzioni: non ci sono, perché stai leggendo una scheda advanced! Surprised Comunque se dovessi avere bisogno di un termine di confronto, puoi sempre usare il tool per risolvere le equazioni online...

 

 

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Lezione correlata

 

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