Esercizi sulle equazioni fratte di primo grado - Advanced

Benvenuti nella scheda di equazioni fratte di primo grado di livello avanzato. Provate a risolvere gli esercizi proposti e, nel caso risultassero troppo difficili, date un'occhiata alle pagine di esercizi facili e intermedi.

 

Vi consigliamo inoltre, prima o dopo, di consultare anche la scheda di esercizi risolti sulle equazioni fratte di primo grado: sono tutti interamente svolti e commentati in ogni singolo passaggio. ;)

 

Potete trovare la teoria e diversi esempi riguardanti questi esercizi nella lezione sulle equazioni di primo grado fratte ad un'incognita.

 
 
 

Esercizi sulle equazioni fratte di primo grado, avanzati

 

Rispetto agli esercizi proposti in precedenza, complicheremo un pochettino le tracce. Vi chiediamo di risolvere le seguenti equazioni cercando le soluzioni negli insiemi numerici indicati. Utilizzeremo i simboli standard per indicare:

 

- con \mathbb{N} l'insieme dei numeri naturali;

 

- con \mathbb{Z} l'insieme dei numeri relativi;

 

- con \mathbb{R} l'insieme dei numeri reali.

 

Visto che la tipologia di esercizio varia rispetto alle schede beginner e intermediate, svolgeremo esplicitamente il primo esercizio in modo da lasciarvi una traccia guidata.

 

I) \frac{x}{x+1}-\frac{x}{x-1}+\frac{x-1}{x+1}-\frac{x+1}{x-1}+\frac{125}{x^2-1}=0\ \ \ \mbox{con }x\in\mathbb{N}

 

Svolgimento

 

1) Procediamo normalmente con la risoluzione dell'equazione come se quel x\in\mathbb{N} non ci fosse. Ce ne occuperemo alla fine.

 

Scriviamo l'equazione in una forma migliore:

 

\frac{x(x-1)-x(x+1)+(x-1)^2-(x+1)^2+125}{x^2-1}=0

 

2) Determiniamo le condizioni di esistenza ponendo il denominatore diverso da zero (D(x)\neq 0)

 

x^2-1\neq 0\ \ \to\ \ (x-1)(x+1)\neq 0\ \ \to\ \ x\neq \pm 1

 

3) Cerchiamo i valori dell'incognita per cui si annulla il numeratore, risolvendo N(x)= 0:

 

x(x-1)-x(x+1)+(x-1)^2-(x+1)^2+125= 0

 

sviluppando i calcoli otteniamo

 

x^2-x-x^2-x-4x+125=0\ \ \to\ \ -6x+125= 0

 

Affinché il numeratore si annulli deve essere x=\frac{125}{6}.

 

4) Confrontiamo la soluzione ottenuta con le condizioni di esistenza: sono diverse, dunque possiamo accettare la soluzione.

 

5) Stabiliamo se la soluzione che abbiamo trovato rientra nell'insieme numerico indicato nel testo dell'esercizio. In questo caso era richiesto che x appartenesse all'insieme dei numeri naturali. La soluzione che abbiamo determinato

 

x=\frac{125}{6} \simeq 20,8

 

non è naturale e quindi non è accettabile.

 

Morale della favola: l'equazione proposta non ha soluzioni in \mathbb{N}.

 

Esercizi proposti sulle equazioni fratte di primo grado (Advanced)

 

II) \frac{\tfrac{x+3}{x+1}}{\tfrac{x-1}{2x}}-\frac{\tfrac{x-3}{x-1}}{\tfrac{x+1}{2x}}=-\left(\frac{3}{x-1}+\frac{4}{x+1}\right)\ \ \ \mbox{con }x\in\mathbb{Z}

 

III) \frac{1}{3x-2}-\frac{1}{3x+2}=\frac{4}{(3x-2)^2}\ \ \ \mbox{con }x\in\mathbb{R}

 

IV) \frac{\tfrac{3x}{3x-3}}{\tfrac{x+1}{x-1}}-\frac{\tfrac{5x+4}{4x+4}}{\tfrac{x-1}{x+1}}=\frac{\tfrac{x^2+1}{2}}{3(x^2-1)}\ \ \ \mbox{con }x\in\mathbb{Z}

 

V) \frac{2-\frac{2x^2}{(x+2)(x-1)}}{2-\frac{2x^2}{(x+2)(x+1)}}=\frac{1}{3}\ \ \ \mbox{con }x\in\mathbb{Z}

 

VI) \left[\frac{(x-1)(x+2)x}{(x-3)(1-x)}-\frac{(x-\sqrt{2})(x-\sqrt{3})}{(\sqrt{2}-x)(\sqrt{3}-x)(x+3)}\right]:\left[\frac{1}{2(-1)^2(-\frac{1}{2})2}\right]=

 

=\left[\frac{\sqrt{9}}{x-3}+\frac{\sqrt{16x^2}-9x+1}{(x+3)(x-3)}\right]\mbox{,  con }x\in\mathbb{Z}

 

VII) \frac{3x}{x+3}+\frac{1}{2(x+3)}+x=0

 

VIII) \frac{\sqrt{(x+1)^2}}{3x}+9-\frac{1}{3}=0

 

IX) \frac{(x+1)(x-1)}{x+2}-x=0

 

X) \frac{2(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}{(1+\sqrt{2})(1-\sqrt{2})}+\left(\frac{1}{2}\right)^2x+\frac{3}{2x+5}=0

 

 

Soluzioni: non ci sono, perché state leggendo una scheda advanced! :O Comunque se doveste aver bisogno di un termine di confronto, potete sempre usare il tool per risolvere le equazioni online.  Non dimenticate che YM è stracolmo di lezioni, spiegazioni ed esercizi svolti, e che potete trovare tutto quello che vi serve con la barra di ricerca interna. ;) 

 

 

Buona Matematica a tutti!

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Passa agli esercizi beginner ..........Lezione correlata ..........Passa agli esercizi intermediate


Tags: esercizi sulle equazioni fratte di primo grado ad un'incognita con soluzioni e un esercizio svolto passo passo - come risolvere le equazioni fratte di primo grado.