Problemi sulle percentuali

Vi proponiamo una scheda di problemi svolti sulle percentuali, non prima però di avervi dato qualche consiglio su come affrontarli. Questo genere di problemi crea non poche difficoltà ai ragazzi di scuola media (e non solo) che il più delle volte fanno confusione nell'interpretare i dati. Tra poco vedremo che, se si capisce bene quello che si sta facendo e si evita di andare a tentativi solo, come dicono molti, per far uscire il risultato, i problemi con le percentuali sono tutt'altro che difficili.

 

Prima di partire è necessario che voi abbiate ben presente come si calcolano le percentuali e cosa sono le proporzioni. Quindi, prima di procedere oltre, vi consigliamo un click sui due link precedenti. Fatto? Bene! Siamo pronti per partire Wink

 

Consigli per risolvere i problemi sulle percentuali

 

Un qualsiasi problema con le percentuali si risolve ricorrendo alla proporzione

 

t:100 = p:T

 

dove:

 

t è il tasso percentuale (per intenderci il numero che sta prima del simbolo %);

T è il totale a cui si applica la percentuale;

p è il valore numerico della percentuale.

 

Ancora non è chiaro? No problem! Supponiamo di avere 150 caramelle. Il 20% delle caramelle equivale, numericamente, a 30 caramelle, in quanto

 

15 \% \ \mbox{di} \ 150 = \frac{20}{100} \times 150 = 30

 

In questo caso, il tasso percentuale t è uguale a 20, il totale T è pari a 150 ed il valore numerico della percentuale p è uguale a 30.

 

La difficoltà maggiore risiede nell'individuare p. Spesso infatti si fa un po' di confusione ma, i seguenti problemi svolti, vi metteranno ben in guardia dal commettere errori.

 

Problemi svolti con percentuali

 

1) In un parcheggio 38 macchine su 95 sono straniere. Qual è la percentuale delle macchine straniere?

 

Svolgimento

 

Sappiamo che il totale T delle macchine è pari a 95. Cosa indica 38? Semplicemente il valore numerico della percentuale, ovvero p=38. Per trovare t basta impostare la proporzione risolutiva

 

\underbrace{t}_{?}:100 = \underbrace{p}_{38}:\underbrace{T}_{95}

 

e ricavare il valore di t utilizzando la proprietà fondamentale delle proporzioni:

 

t=\frac{38 \times 100}{95}=\frac{38}{95} \times 100 = 0,4 \times 100 = 40 \%

 


 

2) Una quantità di merce ha il peso lordo di 120 kg. Se la tara è il 10% del peso lordo qual è il peso netto?

 

Soluzione

 

Iniziamo dal trovare la tara sapendo che è il 10% del perso lordo, ovvero il 10% di 120.

 

10 \% \ \mbox{di} \ 120 = \frac{10}{100} \times 120 = 12 \ \mbok{kg}

 

Ricordando ora la relazione tra [[peso netto, peso lordo e tara]], ovvero che:

 

\mbox{Peso netto} \ = \ \mbox{peso lordo} - \mbox{tara}

 

si ha che il peso netto della merse è pari a 120-12=108 kg

 


 

3) In una classe di 25 alunni il 12% sono maschi. Quante sono le femmine? Verificare che esse sono esattamente l'88% del totale.

 

Soluzione

 

Conoscendo il totale degli alunni (T=25) ed il tasso percentuale (t=12) dei maschi, iniziamo col trovarne il valore percentuale p, cioè il numero effettivo di alunni maschi.

 

\underbrace{t}_{12}:100 = \underbrace{p}_{?}:\underbrace{T}_{25} \ to \ p=\frac{25 \times 12}{100}=3

 

Ovvero i maschi sono 3. Ne segue che le femmine saranno 25-3=22

 

Abbiamo così trovato il valore percentuale delle femmine. Il totale è sempre 35 e quindi il tasso percentuale sarà dato da:

 

\underbrace{t}_{?}:100 = \underbrace{p}_{22}:\underbrace{T}_{25} \ to \ t=\frac{22 \times 100}{25}=\frac{22}{25} \times 100 = 0,88 \times 100 = 88\%

 


 

 

4) L'80% degli alunni di una classe partecipa ad una gita scolastica e di questi il 75% porta il pranzo a sacco. Quanti pranzano al sacco sapendo che la classe al completo è formata da 25 alunni?

 

Svolgimento

 

Dobbiamo innanzitutto trovare il valore percentuale p degli alunni che partecipano alla gita conoscendo il totale (T=25) ed il tasso percentuale (t=80). Applicando la solita proporzione si ha

 

\underbrace{t}_{80}:100 = \underbrace{p}_{?}:\underbrace{T}_{25} \ to \ p=\frac{25 \times 80}{100}=20

 

Ovvero gli alunni che partecipano alla gita sono 20. Per trovare quanti, tra questi 20 (quindi T=20), pranzano al sacco, basta nuovamente ricorrere alla proporzione risolutiva dei problemi con le percentuali e trovare il valore numerico p della percentuale sapendo che il totale è 20 ed il tasso percentuale è, in questo caso, 75.

 

\underbrace{t}_{75}:100 = \underbrace{p}_{?}:\underbrace{T}_{20} \ to \ p=\frac{75 \times 20}{100}=15

 

Cioè, su 25 alunni: 20 partecipano alla gita e 15 tra questi pranzano al sacco.

  


 

5) In un supermercato viene praticato lo sconto del 30% sugli alimenti e del 25% sulle bevande. Il titolare di un ristorante decide di andare a far la spesa comprando della pasta per un totale di 195 €, della carne per 95 € e 3 fusti di birra a 15 € ciascuno. Quanto risparmia?

 

Soluzione

 

Sia pasta che carne sono degli alimenti. Per essi il titolare del risptorante ha speso in totale 195 + 95 = 290 €, mentre per i tre fusti ha speso 15 × 3 = 45 €

 

Sapendo ora che sugli alimenti c'è uno sconto del 30% e sulle bevande del 25%, per sapere quanto risparmia basta trovare i due valori percentuali (con la solita proporzione risolutiva) e sommarli.

 

p_{alimenti}=\frac{30 \times 290}{100}=87

 

p_{birra}=\frac{25 \times 45}{100}=11,25

 

Quindi il titolare del ristorante risparmierà 87 + 11,25 = 98,25 €

 


 

6) Per un aumento del 9% sul prezzo degli immobili un appartamento viene a costare 130.800 €. Quanto costava prima dell'aumento?

 

Risoluzione

 

L'errore in cui si potrebbe incorrere è quello di considerare come costo totale (T=130.800) e come aumento dato sotto forma di tasso percentuale (t=9) e ricavare quindi il valore numerico p della percentuale, ovvero: 

 

\underbrace{t}_{9}:100 = \underbrace{p}_{?}:\underbrace{T}_{130.800} \ to \ p=\frac{130.800 \times 9}{100}=11.772

 

E pensare poi, sempre sbagliando di ottenere il prezzo iniziale dell'appartamento sottraendo 11.772 € a 130.800... Ed ecco fioccare un bel voto basso! Yell

 

Qual è l'errore? Quello di considerare 130.800 € come totale a cui applicare il tasso percentuale. Tale valore è infatti il costo definitivo dell'appartamento, complessivo cioè del prezzo iniziale (totale) aumentato del corrispondente valore percentuale p.

 

Per farla breve, quindi, dai dati del problema sappiamo che:

 

T+p=130.800 e t=9 e dobbiamo ricavare il valore di T.

 

Guardiamo ora la nostra proporzione risolutiva: t:100=p:T

 

Come facciamo ad utilizzarla con i dati che abbiamo? Basta utilizzare la proprietà del comporre, grazie alla quale possiamo scrivere:

 

(t+100):100 = (p+T):T \ \to \ (9+100):100 = 138.000 : T \ \to \ 109:100 = 130.800:T

 

da cui, per la proprietà fondamentale delle proporzioni possiamo trovare il costo iniziale dell'appartamento

 

T=\frac{100 \times 130.800}{109}=120.000 \ \mbox{Euro}

 


 

Ed è tutto: se vuoi esercitarti ancora un po', puoi dare un'occhiata alla scheda di esercizi sulle percentuali. :)

Dubbi? Problemi? Perplessità? Esercizi che non tornano? Utilizza la barra di ricerca e, se non dovesse bastare, facci la tua domanda sul Forum!

 

Buon proseguimento su YouMath,

Giuseppe Carichino (Galois)

 

Lezione correlata


Tags: problemi svolti sulle percentuali - problemi con percentuali e consogli su come risolverli.