Esercizi sulle disequazioni logaritmiche, Intermediate

Benvenuti nella scheda di esercizi intermediate sulle disequazioni logaritmiche. Troppo difficili? Se volete potete dare un'occhiata agli esercizi beginner. Come si risolvono le disequazioni logaritmiche? Vi raccontiamo tutto nella lezione del link. Wink

 

 

Metodo risolutivo (cenni rapidissimi): per risolvere le disequazioni logaritmiche, dopo aver calcolato le condizioni di esistenza che vanno messe a sistema con la disequazione, si usano due strategie. Il primo modo consiste nell'avere due logaritmi con la stessa base sia a destra che a sinistra per poi confrontare gli argomenti. Se la base del logaritmo è più grande di 1, allora ricorda di mantenere invariato il verso della disequazione; se invece la base è compresa tra 0 e 1 dovrai confrontare gli argomenti dei logaritmi in una disequazione di verso opposto rispetto a quella di partenza.

 

Il secondo metodo, un po' più macchinoso ma sempre efficace, consiste nell'applicare a entrambi i membri della disequazione la funzione inversa rispetto al logaritmo, cioè l'esponenziale.

 

Nota bene: per risolvere i seguenti esercizi è bene tenere presente tutte le proprietà dei logaritmi.

 

Esercizi intermediate sulle disequazioni logaritmiche

  

I) \log_{\sqrt{3}}{(x)}-5\log_{3}{(x)}<2

 

[Il fatto che la base del primo logaritmo sia irrazionale non vi impedisce di applicare la formula di cambiamento di base!]

 

II) \log_{\frac{2}{3}}{(x+5)}-6\log_{\frac{2}{3}}{(x+5)}+4<-1

 

[Bisogna sostituire opportunamente la variabile ponendo, dopo aver calcolato le condizioni di esistenza y=log(2/3)(x+5)...]

 

III) \log_{\frac{1}{9}}{(20x^2+1)}\leq\log_{\frac{1}{9}}{(2-x)}

 

IV) \log_{\frac{3}{4}}(4x-3)\log_{\frac{1}{3}}(x)>0

 

V) 2\ln{(x)}-3<\frac{2\ln{(x)}+3}{\ln{(x)}}

 

VI) \ln{[(x-3)(x-4)]}-\ln{(x-3)}>-\ln{\left(\frac{x-1}{4}\right)}

 

VII) \ln^3{(x)}-2\ln{(x)}\geq 0

 

VIII) 2(\ln{(x^2)})^2+3\ln{(x^2)}+1<0

 

IX) \frac{\log_{2}{(4^{x+1}-2)-2x}}{2x+1}\leq 1

 

X) \log_{a}{(4x^2+3x-1)}-\log_{a}{(x)}>0

 

[Il fatto di avere una base parametrica significa che è necessario discutere il valore del parametro al variare di a tra i numeri reali, tipicamente vanno studiati i casi 0<a<1 e a>1 ]

 

 


 

 

Soluzioni

 

 

I) x>\frac{1}{\sqrt[3]{9}}

 

II) -5<x<-\frac{13}{3}

 

III) x\le -\frac{1}{4} \ \vee \ \frac{1}{5}\le x<2

 

IV) \frac{3}{4}<x<1 \ \vee \ x>1

 

V) 0<x<\frac{1}{\sqrt{e}} \ \vee \ 1<x<e^3

 

VI) x>5

 

VII) e^{-\sqrt{2}}\leq x\leq 1 \ \vee \ x\geq e^{\sqrt{2}}

 

VIII) -\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}< x<-\frac{1}{e^{\frac{1}{2}}} \ \vee \ \frac{1}{e^{\frac{1}{2}}}}< x<\frac{1}{e^{\frac{1}{4}}}

 

IX) x>-\frac{1}{2}

 

X) \mbox{Se} \ a>1: \ x>\frac{-1+\sqrt{5}}{4}; \ \mbox{se} \ 0<a<1: \ \frac{1}{4}<x<\frac{-1+\sqrt{5}}{4}

 

 


 

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Buon lavoro!

\alpha

 

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