Problema 1 - Seconda prova Maturità 2015

Volete dare un'occhiata allo svolgimento del problema 1 della seconda prova di Maturità 2015? Eccolo qui, commentato e spiegato in ogni dettaglio, con tutti i link alle relative lezioni teoriche nel caso vi servisse un ripassino... ;)

 

Testo del problema 1 - Seconda prova di Maturità 2015

 

Il piano tariffario proposto da un operatore telefonico prevede, per le telefonate all'estero, un canone fisso di 10 euro al mese, più 10 centesimi per ogni minuto di conversazione. Indicando con x i minuti di conversazione effettuati in un mese, con f(x) la spesa totale nel mese e con g(x) il costo medio al minuto:

 

1) individua l'espressione analitica delle funzioni f(x),\ g(x) e rappresentale graficamente; verifica che la funzione g(x) non ha massimi né minimi relativi e dai la tua interpretazione dell'andamento delle due funzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano.

 

2) Detto x_0 il numero di minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, determina x_1 tale che:

 

g(x_1)=\frac{g(x_0)}{2}

 

Traccia il grafico della funzione che esprime x_1 in funzione di x_0 e discuti il suo andamento. Che significato ha il suo asintoto verticale?

 

Sul suo sito web l'operatore telefonico ha pubblicato una mappa che rappresenta la copertura del segnale telefonico nella zona di tuo interesse:

 

Grafico problema 1 copertura telefonica seconda prova 2015

 

La zona è delimitata dalla curva passante per i punti A,B,C, dagli assi x,y, e dalla retta di equazione x=6; la porzione etichettata con la "Z", rappresenta un'area non coperta dal segnale telefonico dell'operatore in questione.

 

3) Rappresenta il margine superiore della zona con una funzione polinomiale di secondo grado, verificando che il suo grafico passi per i tre punti A,B,C. Sul sito web dell'operatore compare la seguente affermazione: "nella zona rappresentata nella mappa risulta coperto dal segnale il 96% del territorio"; verifica se effettivamente è così.

 

L'operatore di telefonia modifica il piano tariffario, inserendo un sovrapprezzo di 10 centesimi per ogni minuto di conversazione successivo ai primi 500 minuti.

 

4) Determina come cambiano, di conseguenza, le caratteristiche delle funzioni f(x),\ g(x), riguardo agli asintoti, alla monotonia, continuità e derivabilità, individua eventuali massimi e minimi assoluti della funzione g(x) e della sua derivata e spiegane il significato nella situazione concreta.

 

Svolgimento del problema 2 - Seconda prova di Maturità 2013

 

(Riportiamo il testo di ogni singolo punto per agevolare la lettura)

 

Punto 1

 

Individua l'espressione analitica delle funzioni f(x),\ g(x) e rappresentale graficamente; verifica che la funzione g(x) non ha massimi né minimi relativi e dai la tua interpretazione dell'andamento delle due funzioni alla luce della situazione concreta che esse rappresentano.

 

Svolgimento: prima di tutto scriviamo le espressioni analitiche delle funzioni f,g

 

f(x)=10+\frac{x}{10}\ \ \ \ \ g(x)=\frac{f(x)}{x}=\frac{10}{x}+\frac{1}{10}

 

Per rappresentarne i grafici non è necessario effettuare uno studio di funzione completo. f(x) ha per grafico una retta, g(x) è un'iperbole equilatera traslata verso l'alto.

 

Abbiamo tralasciato le parti per x<0.

 

 

Punto 1 problema 1 della seconda prova di Maturità 2015

 

 

Per verificare che g non ha massimi né minimi relativi, ne calcoliamo la derivata prima

 

g'(x)=-\frac{10}{x^2}

 

Essa non ha zeri ed è negativa per ogni x\in Dom(g) e decresce ovunque, dunque non ha né massimi né minimi.

 

Interpretazione: f rappresenta la spesa mensile. Il costo di partenza è 10 (anche con zero minuti), cui si somma la spesa per ogni singolo minuti di chiamata.

 

g, la spesa media per un minuto, decresce all'aumentare di x. Più sono i minuti, più viene ammortizzato il canone mensile (10) perché viene spalmato su un maggior numero di minuti.

 

 

Punto 2

 

Detto x_0 il numero di minuti di conversazione già effettuati nel mese corrente, determina x_1 tale che:

 

g(x_1)=\frac{g(x_0)}{2}\ \ \ (\bullet)

 

Traccia il grafico della funzione che esprime x_1 in funzione di x_0 e discuti il suo andamento. Che significato ha il suo asintoto verticale?

 

Soluzione: consideriamo l'equazione (\bullet)

 

\frac{10}{x_1}+\frac{1}{10}=\frac{\frac{10}{x_0}+\frac{1}{10}}{2}

 

Facciamo un paio di conti:

 

\\ \frac{10}{x_1}+\frac{1}{10}=\frac{5}{x_0}+\frac{1}{20}\ \ \ (x_0\neq 0\neq x_1)\\ \\ \frac{10}{x_1}=\frac{5}{x_0}-\frac{1}{20}\\ \\ \frac{10x_0}{x_1}=5-\frac{1}{20}x_0\\ \\ 10x_0=5x_1-\frac{1}{20}x_0x_1\\ \\ 10x_0=\left(5-\frac{1}{20}x_0\right)x_1\\ \\ x_1=\frac{10x_0}{5-\frac{1}{20}x_0}\ \Rightarrow\ x_1=\frac{200x_0}{100-x_0}

 

La funzione x_1=x_1(x_0) è

 

x_1=\frac{200x_0}{100-x_0}

 

Per comodità chiamiamo x_1=:z e x_0=:w, per cui la funzione si riscrive come

 

z=t(w)=\frac{200w}{100-w}

 

Studiamola passo-passo. ;)

 

Dominio: w\neq 100, ossia Dom(t)=(-\infty,100)\cup(100,+\infty). Questo è il dominio determinato analiticamente, teniamo conto che per x_0=0, ossia w=0, l'equazione (\bullet) non ha significato.

 

Segno della funzione: risolviamo t(w)\geq 0, che si traduce in una disequazione fratta

 

\frac{200w}{100-w}\geq 0

 

N\geq0)\ \ \ w\geq 0

 

D>0)\ \ \ 100-w>0\ \Rightarrow\ w<100

 

Dal confronto tra i segni si deduce che la funzione è positiva per 0<w<100 e negativa per w<0\ \vee\ w>100.

 

Parità e disparità: consideriamo t(-w)

 

t(-w)=\frac{200(-w)}{100-(-w)}=\frac{-200w}{100+w}

 

indi per cui la funzione non è né pari né dispari.

 

Limiti agli estremi: ne dobbiamo calcolare quattro.

 

\lim_{w\to -\infty}\frac{200w}{100-w}=-200\ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{w\to +\infty}\frac{200w}{100-w}=-200

 

entrambi calcolati per confronto tra infiniti. Poi

 

\lim_{w\to 100^-}\frac{200w}{100-w}=+\infty\ \ \ \ \ \ \ \ \lim_{w\to 100^+}\frac{200w}{100-w}=-\infty

 

entrambi calcolati con l'algebra di infiniti e infinitesimi.

 

Dai limiti agli estremi è facile vedere che la funzione presenta un asintoto orizzontale bilatero (z=-200) e un asintoto verticale (w=100).

 

Studio della derivata prima: applichiamo la regola di derivazione del rapporto

 

t'(w)=\frac{200\cdot (100-w)-200\cdot w\cdot (-1)}{(100-w)^2}=

 

=\frac{20000-200w+200w}{(100-w)^2}=\frac{20000}{(100-w)^2}

 

Si capisce subito che la derivata prima non ammette alcuno zero e che è positiva per ogni w\in Dom(t), dunque t(w) cresce su (-\infty,100) e su (100,+\infty).

 

Derivata seconda: in modo analogo

 

t''(w)=\frac{0\cdot (100-w)^2-20000\cdot 2\cdot (100-w)\cdot (-1)}{(100-w)^4}=\frac{40000}{(100-w^3)}

 

essa non ammette zeri ed è positiva per w<100 e negativa per w>100.

 

Qui di seguito il grafico della funzione:

 

 

Punto 2 seconda prova di Matematica 2015

 

 

Ora torniamo all'interpretazione del caso in esame: dato che w=x_0 è il numero di minuti di conversazione già effettuata, il grafico va letto solo per w>0.

 

Riguardo all'asintoto verticale, in riferimento all'equazione (\bullet), si ricava che per dimezzare il costo medio al minuto bisogna avvicinarsi a x_0=100 minuti di chiamate effettuate.

 

Punto 3

 

Rappresenta il margine superiore della zona con una funzione polinomiale di secondo grado, verificando che il suo grafico passi per i tre punti A,B,C. Sul sito web dell'operatore compare la seguente affermazione: "nella zona rappresentata nella mappa risulta coperto dal segnale il 96% del territorio"; verifica se effettivamente è così.

 

Svolgimento

 

 

Punto 3 seconda prova di Maturità 2015

 

 

Per rappresentare il margine superiore della zona con un polinomio di secondo grado, consideriamo un generico polinomio p(x)=ax^2+bx+c e calcoliamo i coefficienti mediante un opportuno sistema. Quale? Quello che si ottiene in riferimento alle valutazioni ascissa-ordinata

 

\begin{cases}A\ \to\ 2=p(0)\\ B\ \to\ \frac{7}{2}=p(2)\\ C\ \to\ 4=p(4)\end{cases}

 

Il sistema lineare è dato esplicitamente da

 

\begin{cases}2=a\cdot (0)^2+b\cdot (0)+c\\ \frac{7}{2}=a\cdot (2)^2+b\cdot (2)+c\\ 4=a\cdot (4)^2+b\cdot (4)+c\end{cases}

 

ossia

 

\begin{cases}2=c\\ \frac{7}{2}=4a+2b+c\\ 4=16a+4b+c\end{cases}

 

Usando il metodo di sostituzione si giunge velocemente all'unica soluzione del sistema: a=-\frac{1}{8},\ b=1,\ c=2, per cui la funzione polinomiale richiesta è 

 

p(x)=-\frac{1}{8}x^2+x+2

 

Per stabilire se la copertura è pari al 96% del territorio, prima calcoliamo l'area sottesa dal margine superiore, in accordo con il significato geometrico dell'integrale di Riemann

 

A_{Tot}=\int_0^6\left(-\frac{1}{8}x^2+x+2\right)dx=

 

Grazie alle proprietà degli integrali

 

=\int_0^6\left(-\frac{1}{8}x^2\right)dx+\int_0^6 xdx+\int_0^2 2dx=

 

ci troviamo di fronte ad una manciata di integrali fondamentali

 

=\left[-\frac{1}{8}\cdot \frac{x^3}{3}\right]_{0}^{6}+\left[\frac{x^2}{2}\right]_{0}^{6}+\left[2x\right]_{0}^{6}=-9+18+12=21

 

A questo punto calcoliamo l'area di Z, vale a dire l'area del triangolo

 

A_Z=\frac{1\cdot 1}{2}

 

Per determinare la copertura ragioniamo nel modo seguente: impostiamo una semplice proporzione, in modo da calcolare la zona di non copertura N\%

 

A_{Tot}:100=A_Z:N

 

Usiamo la proprietà fondamentale

 

N\cdot A:{Tot}=100A_Z\ \to\ N=\frac{100\cdot \frac{1}{2}}{21}=\frac{50}{21}\simeq 2,38

 

Per semplice calcolo percentuale A_Z è il 2,38% di A_{Tot}, e quindi la copertura è

 

A_{Copertura}=(100-2,38)\%=97,62\%\mbox{ e non il }96\%

 

 

Punto 4

 

Determina come cambiano, di conseguenza, le caratteristiche delle funzioni f(x),\ g(x), riguardo agli asintoti, alla monotonia, continuità e derivabilità, individua eventuali massimi e minimi assoluti della funzione g(x) e della sua derivata e spiegane il significato nella situazione concreta.

 

Soluzione: dobbiamo valutare come cambiano f(x) e g(x) se si applica un sovrapprezzo di 10 centesimi per ogni minuto oltre i primi 500 minuti. Di conseguenza dobbiamo scrivere le espressioni di f e g come funzioni definite a tratti:

 

f(x)=\begin{cases}10+\frac{x}{10}\mbox{ se }0\leq x\leq 500\\ -40+\frac{2}{10}x\mbox{ se }x>500\end{cases}

 

Da notare che il sovrapprezzo riguarda solo i minuti oltre il cinquecentesimo:

 

10+\frac{x}{10}+\frac{1}{10}(x-500)\ \to\ 10+\frac{2}{10}x-50\ \to

 

\to\ -40+\frac{2}{10}x

 

Per quanto concerne g

 

g(x)=\begin{cases}\frac{10}{x}+\frac{1}{10}\mbox{ se }0< x\leq 500\\ \frac{-40}{x}+\frac{2}{10}\mbox{ se }x>500\end{cases}

 

Partiamo dalla continuità di f applicando la definizione. I due rami sono continui sui rispettivi intervalli di definizione, per cui ci limitiamo al punto di raccordo

 

\lim_{x\to 500^-}\left(10+\frac{x}{10}\right)=60,\ \ f(500)=60,\ \lim_{x\to 500^+}\left(-40+\frac{2}{10}x\right)=60

 

Riguardo a g:

 

\lim_{x\to 500^-}\left(\frac{10}{x}+\frac{1}{10}\right)=\frac{3}{25},\ \ g(500)=\frac{3}{25},\ \lim_{x\to 500^+}\left(\frac{-40}{x}+\frac{2}{10}\right)=\frac{3}{25}

 

e dunque è continua.

 

Per la derivabilità di f in x=500 dobbiamo confrontare i due limiti del rapporto incrementale da sinistra e da destra

 

\lim_{h\to 0^-}\frac{f(500+h)-f(500)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{10+\frac{500+h}{10}-60}{h}=

=\lim_{h\to 0^-}\frac{-500+500+h}{10h}=\frac{1}{10}

 

\lim_{h\to 0^+}\frac{f(500+h)-f(500)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{-40+\frac{2}{10}(500+h)-60}{h}=

\lim_{h\to 0^+}\frac{-1000+1000+2h}{10h}=\frac{1}{5}

 

Da qui deduciamo che x=500 è un punto angoloso (non derivabilità).

 

In riferimento a g

 

\lim_{h\to 0^-}\frac{g(500+h)-g(500)}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{\frac{10}{500+h}+\frac{1}{10}-\frac{3}{25}}{h}=

=\lim_{h\to 0^-}\frac{\frac{10}{500+h}+\frac{-1}{50}}{h}=\lim_{h\to 0^-}\frac{500-500-h}{h(500+h)}=-\frac{1}{500}

 

\lim_{h\to 0^+}\frac{g(500+h)-g(500)}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{\frac{-40}{500+h}+\frac{2}{10}-\frac{3}{25}}{h}=

=\lim_{h\to 0^+}\frac{\frac{-40}{500+h}+\frac{4}{50}}{h}=\lim_{h\to 0^+}\frac{-2000+2000+4h}{h(500+h)}=\frac{4}{500}

 

Anche in questo caso abbiamo a che fare con un punto angoloso.

 

Passiamo agli asintoti: f presenta come asintoto obliquo y=-40+\frac{2}{10}x per x\to +\infty (il tratto è definito da una funzione lineare!), mentre g presenta come asintoto orizzontale y=\frac{1}{5}

 

\lim_{x\to +\infty}g(x)=\lim_{x\to +\infty}\left(-\frac{40}{x}+\frac{2}{10}\right)=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}

 

Calcoliamo gli eventuali massimi e minimi assoluti di g(x):

 

g'(x)=\begin{cases}-\frac{10}{x^2}\mbox{ se }0< x\leq 500\\ \frac{40}{x^2}\mbox{ se }x>500\end{cases}\ \ \ \ \ \ (\not\exists g'(500))

 

La derivata prima è definita per ogni x>0 meno che nel punto x=500, è negativa per x\in (0,500) e positiva per x>500, intervalli su cui g rispettivamente decresce e cresce. In particolare x=500 è un punto di massimo assoluto.

 

Per concludere,  studiamo velocemente il comportamento di g' per cui calcoliamo la derivata seconda

 

g''(x)=\begin{cases}+\frac{20}{x^3}\mbox{ se }0< x\leq 500\\ -\frac{80}{x^3}\mbox{ se }x>500\end{cases}\ \ \ \ \ \ (\not\exists g'(500))

 

e risulta che g''(x)>0 per 0<x<500 e g''(x)>0 per x>500, dunque sui rispettivi intervalli g' cresce e decresce e avremo in x=500... Niente! Infatti g' non è ivi definita. ;)

 

Dal grafico di g

 

 

Grafico del punto 4 problema 1 seconda prova 2015

 

 

si evince che con x=500 minuti si realizza il minimo costo medio per minuto.

 

Abbiamo terminato, olé!

 

 

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