Problema 2 - Seconda prova Maturità 2015

Pronti per leggere lo svolgimento del problema 2 della seconda prova di Maturità 2015?

 

La seconda prova di Matematica è uno degli scritti più temuti dagli studenti, ma se si ha la pazienza necessaria per allenarsi svolgendo le prove degli anni precedenti noterete che, bene o male, le richieste degli esercizi sono standard. Per questo motivo ogni passaggio della risoluzione presenta i link alle lezioni teoriche correlate: un ripasso non fa mai male! ;)

 

Testo del problema 2 - Seconda prova di Matematica 2015

 

La funzione derivabile y=f(x) ha, per x\in [-3,3], il grafico \Gamma disegnato in figura. \Gamma presenta tangenti orizzontali per x=-1,\ x=1,\ x=2. Le aree delle regioni A,B,C,D sono rispettivamente 2,3,3,1. Sia g(x) una primitiva di f(x) tale che g(3)=-5.

 

 

Grafico traccia del problema 1 seconda prova 2015

 

 

1) Nel caso f(x) fosse esprimibile con un polinomio, quale potrebbe essere il suo grado minimo? Illustra il ragionamento seguito.

 

2) Individua i valori di x\in [-3,3] per cui g(x) ha un massimo relativo e determina i valori di x per i quali g(x) volge la concavità verso l'alto.

 

3) Calcola g(0) e, se esiste, il \lim_{x\to 0}\frac{1+g(x)}{2x}.

 

4) Sia h(x)=3\cdot f(2x+1), determina il valore di \int_{-2}^1h(x)dx.

 

Svolgimento per punti del problema 1 - Esame di Maturità 2013

 

(Riportiamo il testo di ogni singolo punto con la relativa soluzione per agevolare la lettura)

 

Punto 1

 

Nel caso f(x) fosse esprimibile con un polinomio, quale potrebbe essere il suo grado minimo? Illustra il ragionamento seguito.

 

Soluzione: Supponendo che f(x) sia un polinomio di grado n, dal momento che il grafico di f(x), per -3\leq x\leq 3, presenta 3 zeri (i tre punti di intersezione con l'asse x), il suo grado dovrebbe essere al minimo 3, ossia n\geq 3.

 

Attenzione però: nel punto (2,0) la funzione è tangente all'asse x, per cui tale zero ha molteplicità \geq 2.

 

Ne segue che il grado di f(x) sarà maggiore o uguale a 4.

 

 

Punto 2 

 

Individua i valori di x\in [-3,3] per cui g(x) ha un massimo relativo e determina i valori di x per i quali g(x) volge la concavità verso l'alto.

 

Soluzione: dato che g è una primitiva di f si ha g'(x)=f(x), ossia il grafico della derivata prima di g(x) coincide con il grafico di f.

 

Poiché f(x), e dunque g'(x), si annulla per x=-2,\ x=0,\ x=2, tali punti saranno i candidati punti di massimo relativo.

 

Ricordiamo inoltre che nei punti in cui la derivata è positiva, la funzione è crescente.

 

Alla luce delle precedenti considerazioni, essendo

 

\begin{cases}g'(x)>0\mbox{ per }-2<x<0\\ g'(0)=0\\ g'(x)<0\mbox{ per }0<x<2\end{cases}

 

ne deduciamo che x=0 è un punto di massimo relativo, infatti per quanto visto in precedenza g(x) è crescente su (-2,0) e decrescente su (0,2).

 

Inoltre la funzione g(x) volge la concavità verso l'alto negli intervalli (-3,-1) \mbox{ e } (1,2). Infatti una funzione volge la concavità verso l'alto negli intervalli in cui la sua derivata seconda è positiva; dal momento che g''(x)=f'(x) ed f'(x)>0 negli intervalli in cui f è crescente, basta osservare il grafico dato per giungere alla conclusione.

 

 

Punto 3

 

Calcola g(0) e, se esiste, il \lim_{x\to 0}\frac{1+g(x)}{2x}

 

Soluzione: sapendo che g è una primitiva di f ed utilizzando il teorema fondamentale del calcolo integrale, possiamo scrivere

 

\int_2^3f(x)dx=g(3)-g(2)

 

Dai dati forniti dal problema e per il significato geometrico dell'integrale definito, abbiamo

 

\mbox{Area}(D)=1=-\int_2^3f(x)dx=-g(3)+g(2)=(\bullet)

 

poiché g(3)=-5

 

(\bullet)=-(-5)+g(2)\ \Rightarrow\ g(2)=-4

 

Analogamente

 

\mbox{Area}(C)=3=-\int_0^2f(x)dx=-g(2)+g(0)=(\bullet\bullet)

 

poiché g(2)=-4

 

(\bullet\bullet)=4+g(0)\ \Rightarrow\ g(0)=-1

 

Di conseguenza il limite \lim_{x\to 0}\frac{1+g(x)}{2x} si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right], infatti il limite è calcolabile ed essendo g continua

 

\lim_{x\to 0}g(x)=g(0)=-1

 

Per calcolare il limite ricorriamo al teorema di de l'Hopital di cui sono soddisfatte le ipotesi

 

\lim_{x\to 0}\frac{1+g(x)}{2x}=\lim_{x\to 0}\frac{[1+g(x)]'}{[2x]'}=\lim_{x\to 0}\frac{g'(x)}{2}=(\spadesuit)

 

essendo g'(x)=f(x)

 

(\spadesuit)=\lim_{x\to 0}\frac{f(x)}{2}=\frac{0}{2}=0

 

 

Punto 4

 

Sia h(x)=3\cdot f(2x+1), determina il valore di \int_{-2}^{1}h(x)dx.

 

Soluzione: dobbiamo calcolare il valore dell'integrale, e fin qui... :D

 

\int_{-2}^{1}h(x)dx=\int_{-2}^{1}3f(2x+1)dx=3\int_{-2}^{1}f(2x+1)dx=(\bullet)

 

dove nel secondo passaggio abbiamo usato una delle proprietà degli integrali (omogeneità).

 

Integriamo per sostituzione ponendo y=2x+1, da cui la legge di trasformazione inversa x=\frac{y-1}{2} e, per differenziazione

 

dx=\frac{1}{2}dy

 

Per quel che riguarda gli estremi di integrazione

 

\\ x=1\ \to\ y=3\\ \\ x=-2\ \to\ y=-3

 

L'integrale diventa

 

(\bullet)=3\int_{-3}^{3}\frac{1}{2}f(y)=\frac{3}{2}\int_{-3}^{3}f(y)dy=

 

Tenendo a mente il significato geometrico dell'integrale di Riemann (area con segno sottesa dal grafico della funzione sull'intervallo di integrazione), possiamo spezzare l'integrale sui singoli intervalli per i quali conosciamo i valori d'area

 

=\frac{3}{2}\int_{-3}^{-2}f(y)dy+\frac{3}{2}\int_{-2}^{0}f(y)dy+\frac{3}{2}\int_{0}^{2}f(y)dy+\frac{3}{2}\int_{2}^{3}f(y)dy=

 

Attenzione: area con segno! Ci vuole un'aggiustatina...

 

=\frac{3}{2}(-\mbox{Area}(A))+\frac{3}{2}\mbox{Area}(B)+\frac{3}{2}(-\mbox{Area}(C))+\frac{3}{2}(-\mbox{Area}(D))=

 

=\frac{3}{2}(-2+3-2-1)=-\frac{9}{2}

 

È tutto!

 

 

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