Quesiti PNI Maturità 2013

Sei pronto per leggere le soluzioni dei dieci quesiti della seconda prova 2013 di Maturità per il PNI (Piano Nazionale Informatica)? Li pubblicheremo il giorno stesso della prova, quindi occhi aperti!

 

Quesiti della seconda prova PNI di Maturità 2013

 

1) Un triangolo ha area 3 e i due lati che misurano 2 e 3. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la risposta.

 

1R) Ricordando che l'area di un triangolo qualsiasi è data dal semiprodotto di un lato qualsiasi per l'altezza h ad esso relativa, sapendo che l'area è pari a 3 ed assumendo come lato quello di misura 2, si ha che: 3=\frac{2 \cdot h}{2}, da cui h=3 che coincide proprio con la misura dell'altro lato fornita dal quesito. Ne consegue che il triangolo è rettangolo e i lati forniti sono proprio i due cateti. Conseguentemente il terzo lato c sarà l'ipotenusa e la sua misura la possiamo trovare utilizzando il teorema di Pitagora:

 

c=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}

 

 

2) Se la funzione f(x)-f(2x) ha derivata 5 in x=1 e derivata 7 in x=2, qual è la derivata di f(x)-f(4x) in x=1?

 

2R) Iniziamo col calcolare:

 

[f(x)-f(2x)]' = f'(x)-2f'(2x)

 

Sappiamo che in x=1 vale 5 e in x=2 vale 7, ovvero:

 

(\spadesuit) \ f'(1)-2f'(2)=5 e (\clubsuit) \ f'(2)-2f'(4)=7

 

Dobbiamo trovare la derivata in x=1 di f(x)-f(4x). Ora

 

[f(x)-f(4x)]' = f'(x)-4f'(4x) che in x=1 vale f'(1)-4f'(4).

 

Da (\spadesuit) abbiamo: f'(1)=2f'(2)+5.

 

Da (\clubsuit) si ha f'(4)=\frac{f'(2)-7}{2} e quindi:

 

f'(1)-4f'(4)=2f'(2)+5-4\frac{f'(2)-7}{2}=2f'(2)+5-2f'(2)+14=19

 

 

3) Si considerino, nel piano cartesiano i punti A(2,-1) e B(-6,-8). Si determini l'equazione della retta passante per A ed avente massima distanza da B.

 

3R) Scriviamo innanzitutto l'equazione del fascio \Gamma di rette passante per il punto A:

 

\Gamma: \ y-y_A=m(x-x_A), cioè

 

\Gamma: mx-y+6m-8=0

 

Ricordando ora la formula della distanza punto-retta troviamo, in termini di m, la distanza di una generica retta di \Gamma dal punto B:

 

dist(B, \Gamma) = \frac{\left|8m-7\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\left\{\begin{matrix} \frac{8m-7}{\sqrt{m^2+1}} \ se \ m \geq \frac{7}{8} \\ \\ \frac{-8m+7}{\sqrt{m^2+1}} \ se \ m \textless \frac{7}{8}\end{matrix}

 

Ora, per trovare la retta avente massima distanza, dobbiamo trovare il punto di massimo della funzione appena definita, in termini della variabile m: dist(\Gamma, B).

 

Per far ciò calcoliamo innanzitutto la derivata prima per poi studiarne il segno. Ricordando la formula di derivazione di un rapporto abbiamo:

 

[dist(B, \Gamma)]' = \left\{ \begin{matrix} \frac{8\sqrt{m^2+1} - (8m-7) \frac{2m}{2\sqrt{m^2+1}}}{m^2+1} \ se \ m\geq \frac{7}{8} \\ \\ \frac{-8\sqrt{m^2+1}-(-8m+7)\frac{2m}{\sqrt{m^2+1}}}{m^2+1} \ se \ m \textless \frac{7}{8}  \end{matrix}

 

da cui, dopo qualche semplice passaggio algebrico e semplificazione (che omettiamo) sia arriva ad avere:

 

[dist(B, \Gamma)]' = \left\{ \begin{matrix} \frac{7m+8}{(m^2+1)\sqrt{m^2+1}} \ se \ m \geq \frac{7}{8}\\ \\ \frac{-7m-8}{(m^2+1)\sqrt{m^2+1}} \ se \ m \textless \frac{7}{8} \end{matrix}

 

Studiamone ora il segno, ovvero poniamo [dist(B, \Gamma)]' \geq 0, da cui:

 

\left\{ \begin{matrix} \frac{7m+8}{(m^2+1)\sqrt{m^2+1}} \geq 0 \ con \ m \geq \frac{7}{8}\\ \\ \frac{-7m-8}{(m^2+1)\sqrt{m^2+1}}\geq 0 \ con \ m \textless \frac{7}{8} \end{matrix}

 

I denominatori (uguali) sono sempre positivi in quanto prodotto di un somma di quadrati (m^2+1) per una radice avente radicando strettamente maggiore di zero. Ora:

 

- il membro di sinistra della prima disequazione è positivo per m\geq -\frac{8}{7} e negativo per m\textless -\frac{8}{7}. Poiché però deve essere m \geq \frac{7}{8} si ha che la prima disequazione del sistema è verificata per m \geq \frac{7}{8}.

 

- Il membro di sinistra della seconda disequazione è positivo per m\leq -\frac{8}{7} e negativo per m\textgreater -\frac{8}{7}. Però devendo essere m \textless \frac{7}{8} si ha che è positivo per m\leq -\frac{8}{7} e negativo per -\frac{8}{7} \textless x \textless \frac{7}{8}.

 

Graficamente

 

Quesito 3 Maturità 2013

 

si vede immediatamente che m=-\frac{8}{7} è il punto cercato. Sostituendo in \Gamma: mx-y+6m-8=0 si ha che la retta cercata ha equazione 8x+7y+104=0.

 

 

4) Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l'altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito.

 

Soluzione. Facciamo innanzitutto un disegnino che ci aiuta ad esprimerci meglio.

 

Quesito 4 Maturità 2013

 

Sappiamo che: \overline{HK}=h, \ \ \overline{AB}=a, \ \ \overline{A'B'}=b.

 

Poniamo: \overline{VK}=h_1 e \overline{VH}=h_2.

 

Essendo i poligoni di base ottenuti dall'intersezione di due piani paralleli con l'angoloide di vertice V essi sono simili e le aree dei quadrati di base stanno tra loro come i quadrati delle distanze dal vertice dei rispettivi piani, ovvero:

 

\frac{Area(ABCD)}{Area(A'B'C'D')}=\frac{h_1^2}{h_2^2}, cioè

 

(\spadesuit) \ \frac{a^2}{b^2}=\frac{h_1^2}{h_2^2}

 

Ora

 

Volume Tronco = (Volume Piramide di base AB e vertice V) meno (Volume Piramide di base A'B' e vertice V) 

 

da cui, grazie alle formule della piramide

 

Volume Tronco =\frac{h_1 a^2}{3} - \frac{h_2 b^2}{3} = \frac{h_1 a^2 - h_2 b^2}{3}

 

Da \spadesuit si ha che a^2=\frac{b^2 h_1^2}{h_2^2}. Sostituendo nella relazione precedente:

 

Volume Tronco = \frac{h_1 a^2 - h_2 b^2}{3}=\frac{1}{3}\left(\frac{b^2 h_1^3}{h_2^2}-h_2 b^2\right)=

 

=\frac{1}{3}b^2 \left(\frac{h_1^3 - h_2^3}{h_2^2}\right)=\frac{1}{3}b^2\left(\frac{\overbrace{(h_1-h_2)}^{h}(h_1^2+h_1h_2+h_2^2)}{h_2^2}\right)=

 

=\frac{1}{3}b^2 h \left(\frac{h_1^2}{h_2^2}+\frac{h_1}{h_2}+1\right) \overbrace{=}^{(*)} \frac{1}{3}b^2h \left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{b}+1\right)=\frac{1}{3}h(a^2+ab+b^2)

 

(*) da (\spadesuit)

che è quanto volevamo provare.

 

 

5) In un libro si legge: "se per la dilatazione corrispondente ad un certo aumento della temperatura un corpo si allunga (in tutte le direzioni) di una certa percentuale (per esempio 0,38%), esso si accresce in volume in proporzione tripla (cioè dell'1,14%), mentre la sua superficie si accresce in proporzione doppia (cioè di 0,76%)" E' così? Si motivi esaurientemente la risposta.

 

5R) Iniziamo, senza perdere in generalità, con il rappresentare il corpo come un cubo di lato a. Ovviamente il suo volume è V=a^3.

 

Supponiamo ora che il corpo (cubo) si allunghi in tutte le direzioni di una percentuale \delta. Il suo lato sarà quindi pari a a'=a+\delta a = a(1+\delta) e di conseguenza il suo volume diventerà V'=a^3(1+\delta)^3.

 

La variazione di volume è quindi \Delta V=V'-V= a^3(1+\delta)^3-a^3=a^3[(1+\delta)^3-1)].

 

Quindi: (\spadesuit) \ \frac{\Delta V}{V}=\frac{a^3[(1+\delta)^3-1]}{a^3}=(1+\delta)^3-1=1+3\delta+3\delta^2+\delta^3-1=\delta^3+3\delta^2+3\delta.

 

Per quanto riguarda la superficie S del nostro corpo (cubo) si ha che S=a^2, e dopo la dilatazione abbiamo una superficie pari a S'=a^2(1+\delta)^2 e quindi una variazione:

 

(\clubsuit) \ \frac{\Delta S}{S}=\frac{a^2[(1+\delta)^2-1]}{a^2}=(1+\delta)^2-1=1+2\delta+\delta^2-1=\delta^2+2\delta

 

Tiriamo ora le somme:

 

- se la percentuale \delta di dilatazione è un valore molto piccolo (ad esempio \delta=0,38\%), possiamo trascurare i termini di secondo e terzo grado in (\spadesuit) e i termini di secondo grado in (\clubsuit) e concludere che il volume del corpo si accresce in proporzione tripla e la superficie in proporzione doppia.

 

- Se la percentuale \delta di dilatazione è grande, non possiamo più tralasciare i termini di secondo e terzo grado e quindi il testo del quesito diventa falso.

 

 

6) Con le cifre da 1 a 7 è possibile formare 7!=5040 numeri corrispondenti alle permutazioni delle sette cifre. Ad esempio i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la 5036-esima posizione e quale quello che occupa la 1441-esima posizione?

 

6R) Per determinare il numero in 5036-esima posizione basta tener presente che i 5040 numeri son disposti in ordine crescente e quindi il numero cercanto sarà il quarto partendo dall'ultimo. L'ultimo, cioè il più grande è, ovviamente: 7654321. Partendo da esso determiniamo i precedenti fino al 5036-esimo:

 

5039-esimo: 7654312

 

5038-esimo: 7654231

 

5037-esimo: 7654213

 

5036-esimo (quello cercato): 7654132

 

Per determinare il numero in 1441-esima posizione sarebbe da pazzi pensare di procedere come fatto poco fa. Osserviamo allora che, poiché i numeri sono disposti in ordine crescente, avremo:

 

720 numeri che iniziano con la cifra 1, in quanto fissata la prima cifra e lasciando le altre sei variabili:

 

1 \ \_ \ \_ \ \_ \ \_ \ \_ \ \_

 

Le cifre variabili (indicate con un trattino) possono variare in 6!=720 modi. Procedendo allo stesso modo avremo 720 numeri che iniziano con la cifra 2. Abbiamo così coperto le prime 720+720=1440 posizioni.

 

Il numero cercato, ovvero quello in 1441-esima posizione sarà quindi il più piccolo che inizia con la cifra 3, ovvero 3124567.

 

 

7) In un gruppo di 10 persone il 60% ha gli occhi azzurri. Dal gruppo si selezionano a caso due persone. Qual è la probabilità che nessuna di esse abbia gli occhi azzurri?

 

7R) Per facilitarne la soluzione riconduciamoci ai più classici problemi d'urna. Calcolare la probabilità richiesta, ovvero che 2 persone scelte a caso su 10 non hanno gli occhi azzurri sapendo che li ha il 60%, ovvero 6 delle 10, equivale a calcolare la probabilità di estrarre due palline non azzurre da un'urna contenente 10 palline di cui 6 sono azzurre.

 

Detti:

 

A l'evento: "la prima pallina estratta non è azzurra" 

 

B l'evento: "la seconda pallina estratta non è azzurra"

 

Dobbiamo calcolare la probabilità che, in un'estrazione senza restituzione, i due eventi avvengano contemporaneamente. Ora:

 

P(A) = \frac{4}{10} = \frac{2}{5} in quanto abbiamo 4 palline non azzurre su 10.

 

P(B)=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} in quanto stiamo supponendo di aver già estratto una pallina non azzurra (quindi ne rimangono 3 su 9 possibili scelte).

 

La probabilità richiesta sarà quindi data da: P(A)\cdot P(B)=\frac{2}{5} \cdot \frac{1}{3} = \frac{2}{15} \simeq 0,13 = 13\%.

 

 

8) Si dimostri, senza usare il teorema di de l'Hopital, che

 

\lim_{x\to \pi} \left(\frac{e^{\sin(x)}-e^{\sin(\pi)}}{x-\pi}\right)=-1

 

8R)  Il limite proposto altro non è se non il rapporto incrementale della funzione f(x)=e^{\sin(x)} in x_0=\pi. Pertanto:

 

\lim_{x\to \pi} \left(\frac{e^{\sin(x)}-e^{\sin(\pi)}}{x-\pi}\right)=f'(\pi)

 

Ora f'(x)=\cos(x)e^{\sin(x)} e quindi f'(\pi)=\cos(\pi)e^{\sin(\pi)}=-1e^0 = -1, ovvero quanto si voleva provare.

 

 

9) Tre amici discutono animatamente di numeri reali. Anna afferma che sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti e dunque i razionali sono tanti quanti gli irrazionali. Paolo sostiene che gli irrazionali sono dei casi eccezionali, ovvero che la maggior parte dei numeri reali sono razionali. Luisa invece afferma, invece, il contrario: sia i numeri razionali che gli irrazionali sono infiniti, ma esistono più numeri irrazionali che razionali. chi ha ragione? Si motivi esaurientemente la risposta.

 

9R) Dei tre amici ha ragione Luisa.

 

Infatti i numeri razionali \mathbb{Q} possono essere messi in corrispondenza biunivoca con l'insieme dei numeri naturali \mathbb{N}, ovvero, in altre parole possiamo affermare che, l'insieme \mathbb{Q} dei numeri razionali è numerabile. (La dimostrazione di questo è dovuta a Georg Cantor).

 

L'insieme dei numeri reali \mathbb{R} non è numerabile, ovvero non può essere messo in corrispondenza biunivoca con \mathbb{N}. Per convincersi di ciò basta semplicemente considerare tutti i numeri reali nell'intervallo (0,1) e vedere che già solo questi non si riesce a metterli in corrispondenza biunivoca con \mathbb{N}.

 

Ne segue che la cardinalità di \mathbb{R} è strettamente maggiore della cardinalità di \mathbb{N}.

 

Infine, ricordando che: \mathbb{R}=\mathbb{Q} \cup \mathbb{I}, (dove \mathbb{I} indica l'insieme dei numeri irrazionali), essendo \mathbb{R} non numerabile non lo sarà neanche \mathbb{I}, ovvero anche i numeri irrazionali non possono essere messi in corrispondenza biunivoca coi naturali e quindi la cardinalità di \mathbb{I} sarà maggiore di quella di N che però è uguale a quella di \mathbb{Q}.

 

Ciò basta per concludere che i numeri irrazionali sono più numerosi dei razionali.

 

 

10) Si stabilisca per quali valori di k \in \mathbb{R} l'equazione x^2(3-x)=k ammette due soluzioni distinte appartenenti all'intervallo [0,3]. Posto k=3, si approssimi con due cifre decimali la maggiore di tali soluzioni, applicando uno dei metodi iterativi studiati.

 

10R) Per esaudire alla prima richiesta del quesito basta trovare le soluzioni del sistema:

 

\left\{ \begin{matrix} y=x^2(3-x) \\ y=k \end{matrix}

 

procedendo col metodo grafico.

 

y=k rappresenta un fascio di rette parallele all'asse x

 

Tracciamo ora il grafico di y=3x^2-x^3

 

Tale funzione:

 

- è definita in tutto \mathbb{R}

 

- passa per i punti (0,0) e (3,0)

 

- è positiva per x\textless 3 e negativa per x\textgreater 3

 

\lim_{x\to -\infty} f(x)=+\infty e \lim_{x\to +\infty} f(x)=-\infty

 

- ha derivata prima f'(x)=6x-3x^2 che si annulla per x=0 e per x=2. Inoltre

 

f'(x) \textgreater 0 per 0 \texless x \textless 2

 

f'(x) \textless 0 per x \texless \vee x \textgreater 2

 

Pertanto la funzione ha un minimo in x=0, con f(0)=0 e un massimo in x=2, con f(2)=4.

 

Quesito 10 PNI

 

Dal grafico si vede che esistono due soluzioni distinte nell'intervallo [0,3] per 0\leq k \textless 4.

 

Per k=3 abbiamo x^3-3x^2+3=0 e dal grafico appena tracciato si evince che la maggiore delle sue soluzioni (diciamola \bar{x}) appartiene all'intervallo [2,3].

 

Posto f(x)=x^3-3x^2+3, per trovare un'approssimazione alla seconda cifra decimale di \bar{x} procediamo col metodo di bisezione. Abbiamo:

 

f(2)=8-12+3=-1 \ \textless 0

 

f(3)=27-27+3=3 \ \textgreater 0

 

Ovvero 2 \textless \bar{x} \textless 3. Il punto medio ti tale intervallo è 2,5=\frac{5}{2} e f\left(\frac{5}{2}\right)=-\frac{1}{8} \textless 0. Quindi:

 

2,5 \textless \bar{x} \textless 3

 

Continuando in questo modo troveremo che \bar{x}=2,53. Finito!

 

 

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