Problema 2 Maturità PNI 2013

Giovedì mattina (20 Giugno 2013) pubblicheremo in questa pagina lo svolgimento completo del problema 2 della seconda prova PNI di Maturità 2013, per il Piano Nazionale Informatica.

 

Testo e soluzione del problema 2 di Maturità PNI 2013

 

Sia f la funzione definita per tutti gli x positivi da f(x)=x^3\mbox{ln}(x).

 

1) Si studi f e si tracci il suo grafico \gamma su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali e monometrici Oxy; accertato che \gamma presenta sia un punto di flesso che un punto di minimo, se ne calcolino, con l'aiuto di una calcolatrice, le ascisse arrotondate alla terza cifra decimale.

 

2) Sia P il punto in cui \gamma interseca l'asse delle x. Si trovi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse delle y, passante per l'origine e tangente a \gamma in P.

 

3) Sia R la regione delimitata da \gamma e dall'asse x sull'intervallo aperto a sinistra ]0,1]. Si calcoli l'area di R illustrando il ragionamento seguito e la si esprima in mm^2 avendo supposto l'unità di misura lineare pari a 1 decimetro.

 

4) Si disegni la curva simmetrica a \gamma rispetto all'asse delle y e se ne ricavi l'equazione. Similmente si faccia per la curva simmetrica di \gamma rispetto alla retta y=-1.

 

Svolgimento del problema 2 - Maturità 2013 PNI

 

(Per comodità riporteremo in ogni punto la parte corrispondente del testo del problema).

 

Punto 1

 

Si studi f e si tracci il suo grafico \gamma su un piano riferito ad un sistema di assi cartesiani ortogonali e monometrici Oxy; accertato che \gamma presenta sia un punto di flesso che un punto di minimo, se ne calcolino, con l'aiuto di una calcolatrice, le ascisse arrotondate alla terza cifra decimale.

 

Svolgimento: studiamo la funzione f(x)=x^3\mbox{ln}(x).

 

Dominio: affinché esista il logaritmo il suo argomento deve essere strettamente maggiore di zero. Non essendoci altre limitazioni, \mbox{Dom}(f)=]0,+\infty[.

 

Simmetrie: la funzione non è nè pari nè dispari in quanto il dominio non è simmetrico rispetto all'origine.

 

Intersezioni con gli assi: rispetto all'asse y:

 

f non ha intersezioni con l'asse y in quanto x=0 è escluso dal dominio.

 

Rispetto all'asse x

 

\left\{ \begin{matrix} y=0 \\ y=x^3\mbox{ln}(x) \end{matrix}

 

da cui x^3\mbox{ln}(x)=0 che implica:

 

x=0 (non accettabile in quanto non rientra nel dominio) oppure \mbox{ln}(x)=0 \ \Longleftrightarrow \ x=1, ovvero P(1,0) è l'unico punto di intersezione di f con l'asse x.

 

Studio del Segno: abbiamo precedentemente visto che la funzione si annulla per x=1, inoltre

 

f(x) \textgreater 0 \ \Longleftrightarrow \ x^3\mbox{ln}(x) \textgreater 0 da cui:

 

x^3 \textgreater 0 \ \Longleftrightarrow \ x \textgreater 0

 

\mbox{ln}(x) \textgreater 0 \ \Longleftrightarrow \ x\textgreater 1

 

Problema 2 grafico disequazioni

 

f(x) \textgreater 0 in ]1,+\infty[

 

f(x) \textless 0 in ]0,1[

 

Limiti e asintoti:

 

\lim_{x \to 0^{+}} f(x) = \lim_{x \to 0^{+}} \left(x^3\mbox{ln}(x)\right)=0

 

e quindi la funzione non ha asintoti verticali.

 

\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(x^3\mbox{ln}(x)\right)=+\infty

 

Ne segue che non vi sono asintoti orizzontali e poiché:

 

\lim_{x \to +\infty} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to +\infty} \left(x^2\mbox{ln}(x)\right)=+\infty

 

non vi sono neanche asintoti obliqui.

 

Studio della derivata prima: ricordando la regola di derivazione di un prodotto:

 

f'(x)=[x^3\mbox{ln}(x)]' = 3x^2 \mbox{ln}(x) + x^3\frac{1}{x}=x^2(3\mbox{ln}(x)+1)

 

f'(x)=0 \ \Longleftrightarrow \ x=0 \ \vee \ \mbox{ln}(x)=-\frac{1}{3}

 

La prima non è accettabile perché non rientra nel dominio; la seconda ci fornisce la soluzione x=e^{-\frac{1}{3}} \simeq 0,717

 

Studiamone ora il segno:

 

f'(x) \textgreater 0 \ \Longleftrightarrow \ x^2(3\mbox{ln}(x)+1) \textgreater 0, da cui:

 

x^2 \textgreater 0 verificata per ogni x \in \mbox{Dom}(f)

 

3 \mbox{ln}(x)+1 \textgreater 0 \ \Longleftrightarrow \ x \textgreater e^{-\frac{1}{3}}

 

Problema 2 grafico crescita

 

Cioè x=e^{-\frac{1}{3}}=0.717 è un punto di minimo assoluto ed essendo f\left(e^{-\frac{1}{3}}\right)=-\frac{1}{3e}\simeq -0,123 si ha che B\left(e^{-\frac{1}{3}}, -\frac{1}{3e}\right) è il minimo richiesto

 

Studio della derivata seconda:

 

f''(x)=[f'(x)]'=[x^2(3\mbox{ln}(x)+1)]'=..conti..=x(6\mbox{ln}(x)+5)

 

di cui l'unico zero che rientra nel dominio di f è x=e^{-\frac{5}{6}} \simeq 0,435.

 

Studiamone ora il segno:

 

f''(x) \textgreater 0 \ \Longleftrightarrow \ x(6\mbox{ln}(x)+5) \textgreater 0, da cui:

 

x \textgreater 0

 

6 \mbox{ln}(x)+5 \textgreater 0 \ \Longleftrightarrow \ x \textgreater e^{-\frac{5}{6}}

 

Problema 2 grafico convessità

 

f\left(e^{-\frac{5}{6}}\right)=-\frac{5}{6}e^{-\frac{5}{2}}\simeq -0,068 e quindi C\left(e^{-\frac{5}{6}}, -\frac{5}{6}e^{-\frac{5}{2}}\right) è un punto di flesso per f

 

Possiamo ora tracciarne il grafico \gamma

 

Problema 2 grafico funzione

 

Punto 2

 

Sia P il punto in cui \gamma interseca l'asse delle x. Si trovi l'equazione della parabola con asse parallelo all'asse delle y, passante per l'origine e tangente a \gamma in P.

 

Soluzione: l'equazione generica della parabola con asse parallelo all'asse delle y è

 

(\spadesuit) \ y=ax^2+bx+c, \ \ a\neq 0

 

Dobbiamo quindi determinare il valore dei tre parametri a, \ b e c i quali si ottengono imponendo le tre condizioni date, ovvero:

 

- (\spadesuit) passa per l'origine (0,0)  \Longrightarrow \ c=0

 

- (\spadesuit) passa per P(1,0)  \Longrightarrow \ 0=a+b \ \Longrightarrow \ b=-a

 

Momentaneamente l'equazione della nostra parabola è y=ax^2-a. Imponiamo ora la terza condizione, ovvero che la parabola è tangente a \gamma in P.

 

Essendo la parabola tangente a \gamma (grafico di f) in P si ha che le due curve hanno la stessa retta tangente in P.

 

Calcoliamo quindi i coefficienti angolari di queste due rette ed uguagliamoli:

 

- coefficiente angolare della retta tangente a f(x)=x^3\mbox{ln}(x) in P(1,0) è dato da f'(1)=1

 

- coefficiente angolare della retta tangente alla parabola y=ax^2-ax in P(1,0) è dato da y'(1)=a

 

e quindi a=1

 

La parabola cercata ha equazione y=x^2-x.

 

Punto 3

 

Sia R la regione delimitata da \gamma e dall'asse x sull'intervallo aperto a sinistra ]0,1]. Si calcoli l'area di R illustrando il ragionamento seguito e la si esprima in mm^2 avendo supposto l'unità di misura lineare pari a 1 decimetro.

 

Soluzione: la regione R di cui vogliamo calcolare l'area è la seguente:

 

Problema 2 area della regione piana

 

L'integrale di Riemann ha il significato geometrico di area sottesa dal grafico \gamma di f, ovvero "area con segno". Abbiamo quindi:

 

Area(R)=\int_{0}^{1}|f(x)| \ dx = \int_{0}^{1} [-x^3\mbox{ln}(x)]dx=-\int_{0}^{1} [x^3 \mbox{ln}(x)]dx

 

Attenzione al fatto che il punto x=0 non appartiene al dominio, ovvero la funzione f(x) non è definita per x=0, quindi l'integrale appena scritto è un integrale improprio di seconda specie, pertanto:

 

Area(R)=\int_{0}^{1}|f(x)| \ dx =-\int_{0}^{1} [x^3 \mbox{ln}(x)]dx=-\lim_{c \to =0^{+}} \int_{c}^{1} [x^3 \mbox{ln}(x)]dx =\overbrace{..conti..}^{(*)}= -\lim_{c\to 0^+} \left[\frac{x^4}{4}\mbox{ln}(x)-\frac{x^4}{16}\right]_{c}^{1} = ... =\frac{1}{16}

 

(*) integrando per parti.

 

Punto 4

 

Si disegni la curva simmetrica a \gamma rispetto all'asse delle y e se ne ricavi l'equazione. Similmente si faccia per la curva simmetrica di \gamma rispetto alla retta y=-1.

 

Soluzione: Iniziamo con farne il disegno rappresentando:

 

- in nero il grafico \gamma di f(x)=x^3 \mbox{ln}(x)

 

- in blu la curva simmetrica di \gamma rispetto all'asse y

 

- in rosso la curva simmetrica di \gamma rispetto all'asse y=-1

 

Problema 2 curve simmetriche

 

Per trovare l'equazione della curva simmetrica di \gamma rispetto all'asse delle y è sufficiente applicare alla funzione y=x^3 \mbox{ln}(x) la trasformazione:

 

\left\{ \begin{matrix}x'=-x \\ y'=y \end{matrix} \ \Longleftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix}x=-x' \\ y=y' \end{matrix}

 

(per convincersi di ciò basta osservare il disegno fatto precedentemente)

 

ottenendo: y'=(-x')^3 \mbox{ln}(-x'). Togliendo gli apici abbiamo l'equazione cercata: y=-x^3 \mbox{ln}(-x).

 

Per trovare invece l'equazione della curva simmetrica di \gamma rispetto alla retta y=-1 applichiamo alla funzione la trasformazione:

 

\left\{ \begin{matrix}x=x' \\ y=-y'-2 \end{matrix} \ \ \ (*)

 

ottenendo -y'-2=(x')^3 \mbox{ln}(x'), ovvero togliendo gli apici: y=-(x)^3 \mbox{ln}(x)-2

 

(*) In generale tale trasformazione si deduce dalla condizione che il punto medio M\left(\overbrace{x}^{=x'}, \frac{y+y'}{2}\right) del segmento che unisce due punti (x,y) e (x',y') simmetrici rispetto alla retta y=c appartenga a tale retta, ovvero:

 

\left\{ \begin{matrix}x=x' \\ \frac{y+y'}{2}=c \end{matrix} \ \ \ (*)

 

Problema 2 punti simmetrici

 

 

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