Problema 1 PNI Maturità 2013

Qui di seguito trovi lo svolgimento del problema 1 per la seconda prova PNI, dell'esame di Maturità 2013. Giovedì 20 Giugno 2013 riporteremo la soluzione per punti nella mattinata.

 

Oltre che spiegare e farti comprendere appieno come risolvere questo problema, il nostro obiettivo è soprattutto quello di prepararti al meglio per sostenere la tua prova di maturità, ragion per cui, spesso, nel corso della lezione, troverai dei link tramite i quali potrai accedere alle lezioni teoriche che riguardano lo svolgimento del problema...in questo modo potrai approfondire e migliorare la tua preparazione.

 

Testo e soluzione del problema 1 di Maturità 2013 PNI

 

Una funzione f(x) è definita e derivabile, insieme alle sue derivate prime e seconde, in [0,+\infty[ e nella figura sono disegnati i grafici di \Gamma e \Lambda di f(x) e della sua derivata seconda f''(x). La tangente a \Gamma nel suo punto di flesso di coordinate (2,4) passa per (0,0), mentre le rette y=0 e y=8 sono asintoti orizzontali per \Gamma e \Lambda rispettivamente.

 

Immagine 1 del problema 1 di Maturità 2013

 

1) Si dimostri che la funzione f'(x), ovvero la derivata prima di f(x) ha un massimo e se ne determinino le coordinate. Sapendo che per ogni x del dominio è f''(x) \leq f'(x) \leq f(x) qual'è il possibile andamento di f'(x)?

 

2) Si supponga che f(x) costituisca, ovviamente in opportune unità di misura, il modello di crescita di un certo tipo di popolazione. Quale informazioni sulla sua evoluzione si possono dedurre dai grafici in figura e in particolare dal fatto che \Gamma presenta un asintoto orizzontale e un punto di flesso?

 

3) Se \Gamma è il grafico di f(x)=\frac{a}{1+e^{b-x}} si provi che a=8 e b=2.

 

4) Nell'ipotesi del punto 3. si calcoli l'area della regione di piano delimitata da \Lambda e dall'asse x nell'intervallo [0,2].

 

Svolgimento del problema 1 di Maturità 2013 PNI

 

Punto 1

 

Si dimostri che la funzione f'(x), ovvero la derivata prima di f(x) ha un massimo e se ne determinino le coordinate. Sapendo che per ogni x del dominio è f''(x) \leq f'(x) \leq f(x) qual'è il possibile andamento di f'(x)?

 

Soluzione: un punto \bar{x} è un punto di massimo per una funzione f(x) se la sua derivata prima si annulla in \bar{x} e il segno di quest'ultima è positivo in un intorno sinistro di \bar{x} e negativo in un intorno destro.

 

Ricordato ciò noi ora dobbiamo dimostrare che la funzione f'(x) ha un massimo e dobbiamo poi calcolarne le coordinate. Serviamoci del grafico \Lambda di f''(x) che altro non è se non il grafico della derivata prima di f'(x).

 

Poiché x=2 è l'unico zero di f''(x), l'unico punto candidato ad essere un massimo per f'(x) è proprio \bar{x}=2.

 

In (0,2) (intorno sinistro di \bar{x}) f''(x) è positiva.

 

In (2,+\infty) (intorno destro di \bar{x}) f''(x) è negativa.

 

Quindi, per quanto ricordato in precedenza \bar{x} è un punto di massimo per f'(x), di cui conosciamo l'ascissa. La sua ordinata sarà il coefficiente angolare m della retta tangente al grafico \Gamma di f(x) nel punto di ascissa 2.

 

Per ipotesi sappiamo che tale retta passa per i punti (0,0) e (2,4) e come tale sarà pendenza di tale retta sarà m=\frac{4-0}{2-0}=2.

 

Il punto di massimo cercato è quindi M(2,2).

 

Per tracciare il grafico probabile di f'(x) basta osservare che essendo f(x) \ \textgreater \ 0 \ \forall x \in [0,+\infty[, tale sarà anche f'(x) e dovendo essere f''(x) \leq f'(x) \leq f(x) l'andamento è quello riportato in figura:

 

Immagine 2 del problema 1 di Maturità 2013

 

Punto 2

 

Si supponga che f(x) costituisca, ovviamente in opportune unità di misura, il modello di crescita di un certo tipo di popolazione. Quale informazioni sulla sua evoluzione si possono dedurre dai grafici in figura e in particolare dal fatto che \Gamma presenta un asintoto orizzontale e un punto di flesso?

 

Soluzione: osservando il grafico \Gamma di f(x), e supposto che esso descriva il modello di crescita di una popolazione, si evince che vi è un alto tasso di crescita nella fase iniziale che aumenta fino a quando la curva non cambia concavità nel punto di flesso. Da tale punto in poi la popolazione continua a crescere ma in modo sempre più blando fino quasi a stabilizzarsi e ciò è dovuto alla presenza dell'asintoto orizzontale.

 

Punto 3

 

Se \Gamma è il grafico di f(x)=\frac{a}{1+e^{b-x}} si provi che a=8 e b=2.

 

Soluzione: avendo due valori incogniti da determinare (a e b), basta utilizzare due delle condizioni fornite inizialmente dal testo del problema;

 

- poiché y=8 è un asintoto orizzontale per f(x), per definizione di asintoto orizzontale deve valere:

 

\lim_{x \to +\infty} f(x) = 8

 

Ora:

 

\lim_{x \to +\infty} f(x) = \lim_{x \to +\infty} \left(\frac{a}{1+e^{b-x}}\right) = a, pertanto abbiamo: a=8.

 

Essendo (2,4) un punto di flesso per f(x) necessariamente tale punto appartiene al grafico di f(x)=\frac{\overbrace{a}^{=8}}{1+e^{b-x}} ovvero le sue coordinate soddisfano l'equazione y=\frac{8}{1+e^{b-x}}.

 

Per trovare b basta quindi risolvere:

 

\frac{8}{1+e^{b-x}}=4 \ \Longleftrightarrow \ 8=4+4e^{b-2} \ \Longleftrightarrow \ e^{b-2}=1 \ \Longleftrightarrow \ b-2=0

 

per cui b=2 e abbiamo quindi trovato i valori richiesti.

 

Punto 4

 

Nell'ipotesi del punto 3. si calcoli l'area della regione di piano delimitata da \Lambda e dall'asse x nell'intervallo [0,2].

 

Soluzione: per il punto 3. f(x)=\frac{8}{1+e^{2-x}} e, ricordando che \Lambda è il grafico di f''(x) dobbiamo fare riferimento al significato geometrico dell'integrale di Riemann

 

\int_{0}^{2} f''(x) \ dx

 

Ricordando che, per ipotesi, f''(x) è continua, per il teorema Fondamentale del Calcolo Integrale:

 

\int_{0}^{2} f''(x) \ dx = f'(2)-f'(0)

 

Per la regola di derivazione di un rapporto:

 

f'(x)=\left[\frac{8}{1+e^{2-x}}\right]'=\frac{8e^{2-x}}{(1+e^{2-x})^2}, da cui:

 

f'(2)=\frac{8e^{2-2}}{(1+e^{2-2})^2} = \frac{8}{4}=2

 

f'(0)=\frac{8e^{2}}{(1+e^{2})^2}

 

e quindi:

 

\int_{0}^{2} f''(x) \ dx = f'(2)-f'(0) = 2-\frac{8e^2}{(1+e^2)^2}

 

E questo è tutto!

 

 

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Tags: soluzione e svolgimento del primo problema della seconda prova 2013 per il PNI (Piano Nazionale Informatica).