Quesiti Maturità 2013

Eccoci ai quesiti della seconda prova di Matematica di Maturità 2013: per ogni quesito ti proponiamo una risposta dettagliata ed efficace, che puoi tenere a mente per eventuali domande all'orale...Wink

 

Quesiti della seconda prova di Maturità 2013

 

1) Un triangolo ha area 3 e i due lati che misurano 2 e 3. Qual è la misura del terzo lato? Si giustifichi la risposta.

 

1R) Ricordando che l'area di un triangolo qualsiasi è data dal semiprodotto di un lato qualsiasi per l'altezza h ad esso relativa, sapendo che l'area è pari a 3 ed assumendo come lato quello di misura 2, si ha che: 3=\frac{2 \cdot h}{2}, da cui h=3 che coincide proprio con la misura dell'altro lato fornita dal quesito. Ne consegue che il triangolo è rettangolo e i lati forniti sono proprio i due cateti. Conseguentemente il terzo lato c sarà l'ipotenusa e la sua misura la possiamo trovare utilizzando il teorema di Pitagora:

 

c=\sqrt{2^2+3^2}=\sqrt{4+9}=\sqrt{13}

 

 

2) Si calcoli il dominio della funzione f(x)=\sqrt{1-\sqrt{2-\sqrt{3-x}}}.

 

2R) Per calcolare il dominio della funzione data iniziamo con l'imporre che il radicando 1-\sqrt{2-\sqrt{3-x}} sia maggiore o uguale a zero; dobbiamo cioè risolvere:

 

1-\sqrt{2-\sqrt{3-x}}\geq 0

 

il che presuppone che deve essere 2-\sqrt{3-x} \geq 0 e quindi, ancora, si deve avere 3-x \geq 0, dalla quale otteniamo:

 

1^ condizione: x \leq 3

 

Cerchiamo ora i valori per cui 2-\sqrt{3-x} \geq 0, ovvero \sqrt{3-x} \leq 2.

 

Avendo già precedentemente imposto che il radicando sia positivo possiamo elevare direttamente al quadrato ottenenedo:

 

2^ condizione: x\geq -1

 

Infine risolviamo 1-\sqrt{2-\sqrt{3-x}} \geq 0, cioè \sqrt{2-\sqrt{3-x}}\leq 1.

 

Anche qui, grazie alle condizioni precedentemente imposte (e che dovranno valere contemporaneamente) possiamo elevare al quadrato, ottenendo:

 

2-\sqrt{3-x} \leq 1, da cui \sqrt{3-x}\geq 1 cioè

 

3^ condizione: x\leq 2

 

Intersecando le tre condizioni trovate:

 

Quesito 2013 Maturità 2013

 

il dominio di f(x) è: -1 \leq x \leq 2

 

 

3) Si considerino, nel piano cartesiano i punti A(2,-1) e B(-6,-8). Si determini l'equazione della retta passante per A ed avente massima distanza da B.

 

3R) Scriviamo innanzitutto l'equazione del fascio \Gamma di rette passante per il punto A:

 

\Gamma: \ y-y_A=m(x-x_A), cioè

 

\Gamma: mx-y+6m-8=0

 

Ricordando ora la formula della distanza punto-retta troviamo, in termini di m, la distanza di una generica retta di \Gamma dal punto B:

 

dist(B, \Gamma) = \frac{\left|8m-7\right|}{\sqrt{m^2+1}}=\left\{\begin{matrix} \frac{8m-7}{\sqrt{m^2+1}} \ se \ m \geq \frac{7}{8} \\ \\ \frac{-8m+7}{\sqrt{m^2+1}} \ se \ m \textless \frac{7}{8}\end{matrix}

 

Ora, per trovare la retta avente massima distanza, dobbiamo trovare il punto di massimo della funzione appena definita, in termini della variabile m: dist(\Gamma, B).

 

Per far ciò calcoliamo innanzitutto la derivata prima per poi studiarne il segno. Ricordando la formula di derivazione di un rapporto abbiamo:

 

[dist(B, \Gamma)]' = \left\{ \begin{matrix} \frac{8\sqrt{m^2+1} - (8m-7) \frac{2m}{2\sqrt{m^2+1}}}{m^2+1} \ se \ m\geq \frac{7}{8} \\ \\ \frac{-8\sqrt{m^2+1}-(-8m+7)\frac{2m}{\sqrt{m^2+1}}}{m^2+1} \ se \ m \textless \frac{7}{8}  \end{matrix}

 

da cui, dopo qualche semplice passaggio algebrico e semplificazione (che omettiamo) sia arriva ad avere:

 

[dist(B, \Gamma)]' = \left\{ \begin{matrix} \frac{7m+8}{(m^2+1)\sqrt{m^2+1}} \ se \ m \geq \frac{7}{8}\\ \\ \frac{-7m-8}{(m^2+1)\sqrt{m^2+1}} \ se \ m \textless \frac{7}{8} \end{matrix}

 

Studiamone ora il segno, ovvero poniamo [dist(B, \Gamma)]' \geq 0, da cui:

 

\left\{ \begin{matrix} \frac{7m+8}{(m^2+1)\sqrt{m^2+1}} \geq 0 \ con \ m \geq \frac{7}{8}\\ \\ \frac{-7m-8}{(m^2+1)\sqrt{m^2+1}}\geq 0 \ con \ m \textless \frac{7}{8} \end{matrix}

 

I denominatori (uguali) sono sempre positivi in quanto prodotto di un somma di quadrati (m^2+1) per una radice avente radicando strettamente maggiore di zero. Ora:

 

- il membro di sinistra della prima disequazione è positivo per m\geq -\frac{8}{7} e negativo per m\textless -\frac{8}{7}. Poiché però deve essere m \geq \frac{7}{8} si ha che la prima disequazione del sistema è verificata per m \geq \frac{7}{8}.

 

- Il membro di sinistra della seconda disequazione è positivo per m\leq -\frac{8}{7} e negativo per m\textgreater -\frac{8}{7}. Però devendo essere m \textless \frac{7}{8} si ha che è positivo per m\leq -\frac{8}{7} e negativo per -\frac{8}{7} \textless x \textless \frac{7}{8}.

 

Graficamente

 

Quesito 3 Maturità 2013

 

si vede immediatamente che m=-\frac{8}{7} è il punto cercato. Sostituendo in \Gamma: mx-y+6m-8=0 si ha che la retta cercata ha equazione 8x+7y+104=0.

 

 

4) Di un tronco di piramide retta a base quadrata si conoscono l'altezza h e i lati a e b delle due basi. Si esprima il volume del tronco in funzione di a, b e h, illustrando il ragionamento seguito.

 

Soluzione. Facciamo innanzitutto un disegnino che ci aiuta ad esprimerci meglio.

 

Quesito 4 Maturità 2013

 

Sappiamo che: \overline{HK}=h, \ \ \overline{AB}=a, \ \ \overline{A'B'}=b.

 

Poniamo: \overline{VK}=h_1 e \overline{VH}=h_2.

 

Essendo i poligoni di base ottenuti dall'intersezione di due piani paralleli con l'angoloide di vertice V essi sono simili e le aree dei quadrati di base stanno tra loro come i quadrati delle distanze dal vertice dei rispettivi piani, ovvero:

 

\frac{Area(ABCD)}{Area(A'B'C'D')}=\frac{h_1^2}{h_2^2}, cioè

 

(\spadesuit) \ \frac{a^2}{b^2}=\frac{h_1^2}{h_2^2}

 

Ora

 

Volume Tronco = (Volume Piramide di base AB e vertice V) meno (Volume Piramide di base A'B' e vertice V) 

 

da cui, grazie alle formule della piramide

 

Volume Tronco =\frac{h_1 a^2}{3} - \frac{h_2 b^2}{3} = \frac{h_1 a^2 - h_2 b^2}{3}

 

Da \spadesuit si ha che a^2=\frac{b^2 h_1^2}{h_2^2}. Sostituendo nella relazione precedente risulta che il volume del tronco è dato da

 

= \frac{h_1 a^2 - h_2 b^2}{3}=

=\frac{1}{3}\left(\frac{b^2 h_1^3}{h_2^2}-h_2 b^2\right)=

=\frac{1}{3}b^2 \left(\frac{h_1^3 - h_2^3}{h_2^2}\right)=

=\frac{1}{3}b^2\left(\frac{\overbrace{(h_1-h_2)}^{h}(h_1^2+h_1h_2+h_2^2)}{h_2^2}\right)=

\frac{1}{3}b^2 h \left(\frac{h_1^2}{h_2^2}+\frac{h_1}{h_2}+1\right) \overbrace{=}^{\mbox{da }(\spadesuit)}

=\frac{1}{3}b^2h \left(\frac{a^2}{b^2}+\frac{a}{b}+1\right)=

=\frac{1}{3}h(a^2+ab+b^2)

 

che è quanto volevamo provare.

 

 

5) In un libro si legge: "Due valigie della stessa forma sembrano quasi uguali, quanto a capacità, quando differiscono di poco le dimensioni lineari: non sembra che in genere le persone si rendano ben conto che ad un aumento delle dimensioni lineari (lunghezza, larghezza, altezza) del 10% (oppure del 20% o del 25%) corrispondano aumenti di capacità (volume) di circa 33% (75%, 100%: raddoppio)". E' così? Si motivi esaurientemente la risposta.

 

5R) Iniziamo con il rappresentare la valigia come un parallelepipedo di dimensioni a, \ b e c

 

Quesito 5 Maturità 2013

 

Il suo volume (capacità) sarà quindi: V=abc. Supponiamo ora che le dimensioni della valigia aumentino del 10\%. Dette le nuove dimensioni a', \ b', \ c' avremo:

 

a'=1+\frac{10}{100}a=\frac{110}{100}a=\frac{11}{10}a

 

b'=1+\frac{10}{100}b=\frac{110}{100}b=\frac{11}{10}b

 

c'=1+\frac{10}{100}c=\frac{110}{100}c=\frac{11}{10}c

 

Il volume (capacità) V' della valigia così ottenuta sarà: V'=a'b'c'=\frac{11}{10}a \cdot \frac{11}{10}b \cdot \frac{11}{10}c=\left(\frac{11}{10}\right)^3 (abc)=\frac{1331}{1000}V.

 

La variazione di volume è quindi \Delta V=V'-V=\frac{1331}{1000}V-V=\left(\frac{1331}{1000}-1\right)V=\frac{331}{1000}V.

 

E quindi: \frac{\Delta V}{V}=\frac{331}{1000} \simeq 33\%. Allo stesso identico modo si procede per trovare l'incremento del volume quando le dimensioni lineari aumentano del 20\% e del 25\%. Troveremo, rispettivamente, un aumento del volume del 72,8\% e del 95\%.

 

 

6) Con le cifre da 1 a 7 è possibile formare 7!=5040 numeri corrispondenti alle permutazioni delle sette cifre. Ad esempio i numeri 1234567 e 3546712 corrispondono a due di queste permutazioni. Se i 5040 numeri ottenuti dalle permutazioni si dispongono in ordine crescente qual è il numero che occupa la settima posizione e quale quello che occupa la 721-esima posizione?

 

6R) Per determinare il numero in settima posizione basta tener presente che i 5040 numeri son disposti in ordine crescente. Il primo numero (il più piccolo) è, ovviamente:

 

1234567. Partendo da esso determiniamo i successivi fino al settimo:

 

Secondo: 1234576

 

Terzo: 1234657

 

Quarto: 1234675

 

Quinto: 1234756

 

Sesto: 1234765

 

Settimo (quello richiesto): 1235467.

 

Per determinare il numero in 721-esima posizione sarebbe assurdo pensare di procedere come fatto poco fa. Osserviamo allora che, poiché i numeri sono disposti in ordine crescente, avremo 720 numeri che iniziano con la cifra 1, in quanto fissata la prima cifra e lasciando le altre sei variabili:

 

1 \ \_ \ \_ \ \_ \ \_ \ \_ \ \_

 

Le cifre variabili (indicate con un trattino) possono variare in 6!=720 modi. Ne segue che il 721-esimo numero sarà il più piccolo che inizia col numero 2, ovvero: 2134567.

 

 

7) Un foglio rettangolare, di dimensioni a e b, ha area 1 \ m^2 e forma tale che, tagliandolo a metà (parallelamente al lato minore) si ottengono due rettangoli simili a quello di partenza. Quali sono le misure di a e di b?

 

7R) L'area del foglio di partenza (pari a 1 \ m^2) è data da A=ab=1. Supponiamo che b \textless a e tagliamo a metà parallelamente a b:

 

Quesito 7 Maturità 2013

 

Essendo i due rettangoli ottenuti dopo il taglio simili a quello di partenza, i lati omologhi sono in proporzione, ovvero a:b=b:\frac{a}{2} che equivale a b^2=\frac{a^2}{2}.

 

Per trovare le misure di a e di b mettiamo quest'ultima condizione a sistema con quella sull'area:

 

\left\{ \begin{matrix} ab=1 \\ \\ b^2=\frac{a^2}{2} \end{matrix}

 

da cui, dopo qualche semplice passaggio algebrico si ottiene:

 

a=\sqrt[4]{2} e b=\frac{1}{\sqrt[4]{2}}

 

 

8) La funzione f ha il grafico in figura

 

Quesito 8 Maturità 2013

 

Se g(x)=\int_{0}^{x} f(t) dt, per quale valore positivo di x, g ha un minimo? Si illustri il ragionamento seguito.

 

8R) Poiché (si vede dal grafico) f è continua per ogni x \textgreater 0, per il teorema fondamentale del calcolo integrale: g'(x)=f(x). Dunque il grafico di f in figura coincide col grafico di g', ovvero della derivata prima di g.

 

Osservandolo si vede che:

 

g'(x) si annulla per x=2 e x=4 da cui si ha che x=2 e x=4 sono punti stazionari (o critici) per g

 

g'(x) è positiva per 0\textless x \textless 2 e per x \geq 4, da cui ricaviamo che g(x) è crescente in tali intervalli

 

g'(x) è negativa per 2\textless x \textless 4, da cui si evince che g(x) è decrescente in tale intervallo

 

Dunque il valore richiesto dal quesito è x=4.

 

 

9) Si calcoli: \lim_{x \to 0} \left(4\frac{\sin(x)\cos(x)-\sin(x)}{x^2}\right).

 

9R) Il limite si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right].

 

Raccogliendo -\sin(x) a numeratore abbiamo:

 

\lim_{x \to 0} \left(4\frac{-\sin(x)[1-\cos(x)]}{x^2}\right)= \lim_{x \to 0}\left(4 \sin(x)\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)\overbrace{=}^{(*)}4 \cdot 0 \cdot \frac{1}{2}=0.

 

(*) ricordando il limite notevole \lim_{x\to 0} \left(\frac{1-\cos(x)}{x^2}\right)=\frac{1}{2}.

 

 

10) Se la seguente figura rappresenta il grafico di f(x)

 

Quesito 10 Maturità 2013 (parte 1)

 

quale dei seguenti potrebbe essere il grafico di f'(x)? Si giustifichi la risposta

 

Quesito 10 Maturità 2013 (parte 2)

 

10R) Osservando con attenzione il grafico di f(x) si ha che:

 

in (-\infty, -2) f è crescente. Ne segue che in tale intervallo f'(x) è positiva

 

in x=-2 cambia concavità. Ne deduciamo che x=-2 è uno zero per f'(x)

 

in (-2, 2) f è decrescente. Conseguentemente in tale intervallo f'(x) è negativa

 

Infine in x=2 cambia nuovamente concavità e in (2,+\infty) f è crescente. Si ha quindi che f'(x) è positiva in tale intervallo e ha uno zero in x=2

 

Tali considerazioni bastano per concludere che il grafico di f'(x) è quello riportato nella figura A).

 

Finito!

 

 

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