Soluzione problema 1 seconda prova 2013

Qui trovi lo svolgimento dettagliato del primo problema della seconda prova di Maturità 2013. L'abbiamo pubblicato nella mattinata di Giovedì 20 Giugno 2013, il grande giorno della prova...

 

Non lo neghiamo: è una delle prove più difficili e più temute dagli studenti, ma se si ha la pazienza e la buona volontà di allenarsi svolgendo le prove degli anni precedenti noterete che, bene o male, le richieste degli esercizi sono standard ed è proprio questo il motivo che ci ha spinti a linkare le lezioni teoriche che riguardano lo svolgimento dei singoli punti del problema.

 

In questo modo avrete una panomarica completa ed ogni esercizio "simile" a quello già fatto vi risulterà facile da affrontare.

 

Testo del problema 1 dell'esame di Stato 2013

 

La funzione f è definita da f(x)=\int_{0}^{x}\left[\cos\left(\frac{t}{2}\right)+\frac{1}{2}\right]dt per tutti i numeri reali x appartenenti all'intervallo chiuso [0,9]

 

1) Si calcolino f'(\pi) e f'(2\pi) dove f' indica la derivata di f.

 

2) Si tracci, in un sistema di coordinate cartesiane, il grafico \Sigma di f'(x) e da esso si deduca per quale o quali valori di x, f(x) presenta massimi o minimi. Si tracci altresì l'andamento di f(x) deducendolo da quello di f'(x).

 

3) Si trovi il valor medio di f'(x) nell'intervallo [0,2\pi].

 

4) Sia R la regione del piano delimitato da \Sigma e dall'asse delle x per 0\leq x \leq 4; R è la base di un solido W le cui sezioni con piani ortogonali all'asse delle x hanno, per ciascun x area A(x)=3\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right). Si calcoli il volume di W.

 

Svolgimento per punti del problema 1 - Esame di Maturità 2013

 

(Riportiamo il testo di ogni singolo punto con la relativa soluzione per agevolare la lettura Laughing )

 

Punto 1

 

Si calcolino f'(\pi) e f'(2\pi) dove f' indica la derivata di f.

 

Soluzione: per il teorema fondamentale del calcolo integrale f'(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}

 

Allora:

 

f'(\pi)=\cos\left(\frac{\pi}{2}\right)+\frac{1}{2}=0+\frac{1}{2}=\frac{1}{2}

 

f'(2\pi)=\cos\left(\frac{2\pi}{2}\right)+\frac{1}{2}=\cos(\pi)+\frac{1}{2}=-1+\frac{1}{2}=-\frac{1}{2}

 

Punto 2 

 

Si tracci, in un sistema di coordinate cartesiane, il grafico \Sigma di f'(x) e da esso si deduca per quale o quali valori di x, f(x) presenta massimi o minimi. Si tracci altresì l'andamento di f(x) deducendolo da quello di f'(x).

 

Soluzione: abbiamo visto al punto 1 che f'(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}. Tracciamone il grafico \Sigma. Onde evitare di far confusione poniamo 

 

g(x):=f'(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}

 

e per tracciarne il grafico occorre fare uno studio della funzione g(x).

 

Dominio: Dom(f)=[0,9] indicato nel testo iniziale del problema.

 

Intersezioni con gli assi.

 

Asse y

 

\left\{ \begin{matrix}x=0 \\ y=\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2} \end{matrix} \ \Longleftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix} x=0 \\ y=\frac{3}{2}\end{matrix}

 

Abbiamo quindi trovato il punto A\left(0,\frac{3}{2}\right)

 

Asse x

 

\left\{ \begin{matrix}y=0 \\ \cos\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}=0 \end{matrix} \ \Longleftrightarrow \ \left\{ \begin{matrix} y=0 \\ \cos\left(\frac{x}{2}\right)=-\frac{1}{2}\end{matrix}

 

Determiniamo quindi le soluzioni dell'equazione goniometrica

 

\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2} in [0,9].

 

Poiché \cos(x)=-\frac{1}{2} \ \Longleftrightarrow \ x=\frac{2}{3}\pi+2k\pi, \ k \in \mathbb{Z} si ha:

 

\cos\left(\frac{x}{2}\right)=-\frac{1}{2} \ \Longleftrightarrow \ \frac{x}{2}=\frac{2}{3}\pi+2k\pi \ \Longleftrightarrow \ x=\frac{4}{3}\pi + 4k\pi, \ k \in \mathbb{Z}

 

di cui quelle appartenenti all'intervallo [0,9] sono x=\frac{4}{3}\pi e x=\frac{8}{3}\pi.

 

I punti di intersezione con l'asse x sono quindi: B\left(\frac{4}{3}\pi, 0\right) e C\left(\frac{8}{3}\pi, 0\right)

 

Studio del segno (in [0,9] )

 

g(x)\textgreater 0 \ \Longleftrightarrow \ \cos\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\textgreater 0 \ \Longleftrightarrow \ 0\leq x \textless \frac{4}{3}\pi \ \vee \ \frac{8}{3}\pi \textless x \leq 9

 

e quindi

 

g(x) \textless 0 \ \Longleftrightarrow \ \frac{4}{3}\pi \textless x \textless \frac{8}{3}\pi

 

Studio della derivata prima (sempre in Dom(f)=[0,9]) per massimi e minimi

 

g'(x)=\left[\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\right]' = -\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right) (per la formula di derivazione della funzione composta).

 

Ora, ricordando sempre che stiamo lavorando nell'intervallo chiuso [0,9], si ha:

 

g'(x)=0 \ \Longleftrightarrow \ x=0 \ \vee \ x=2\pi

 

e

 

g'(x) \textgreater 0 \ \Longleftrightarrow \ 2\pi \textless x \leq 9

 

monotonia-punto-2-del-problema-1-seconda-prova-2013

 

Ne segue che x=2\pi è un punto di minimo della funzione in [0,9] e g(2\pi)=-\frac{1}{2}

 

Studio della derivata seconda

 

g''(x)=\left[-\frac{1}{2}\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right]'=-\frac{1}{4}\cos\left(\frac{x}{2}\right)

 

Nell'intervallo chiuso [0,9]:

 

g''(x)=0 \ \Longleftrightarrow \ x=\pi

 

g''(x) \textgreater 0 \ \Longleftrightarrow \ \pi \textless x \leq 9

 

 convessita-punto-2-del-problema-1-seconda-prova-2013

 

Ne segue che x=\pi è un punto di flesso in [0,9] per g(x) e g(\pi)=\frac{1}{2}.

 

Abbiamo ora tutte le informazioni necessarie per tracciare il grafico \Sigma di g(x):=f'(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}

 

 Grafico - punto 2 - problema 1 seconda prova 2013

 

Possiamo ora rispondere all'altra domanda; semplicemente osservando il grafico appena tracciato possiamo dedurre per quali valori di x la funzione

 

f(x)=\int_{0}^{x}\left[\cos\left(\frac{t}{2}\right)+\frac{1}{2}\right]dt

 

presenta massimi o minimi e tracciarne l'andamento. Procediamo con ordine. Dal grafico \Sigma di f'(x) abbiamo:

 

- in \left[0, \frac{4}{3}\pi\right]: \ f'(x) positiva. Ne segue che f(x) è crescente. x=\frac{4}{3}\pi e x=\frac{8}{3}\pi zeri di f'(x). Allora tali punti sono punti estremanti per f(x)

 

- in \left(\frac{4}{3}\pi, \frac{8}{3}\pi\right): \ f'(x) negativa. Conseguentemente f(x) è decrescente;

 

- in \left]\frac{8}{3}\pi,9\right]: \ f'(x) positiva e quindi f(x) è crescente.

 

Andamento - punto 2 - problema 1 seconda prova 2013

 

Grazie a queste informazioni possiamo tracciare un grafico approssimativo di f(x) in [0,9].

 

Grafico approssimativo - punto 2 - problema 1 seconda prova 2013

 

Punto 3

 

Si trovi il valor medio di f'(x) nell'intervallo [0,2\pi]

 

Soluzione: ricordando che f'(x)=\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2} e che, in generale, il valor medio m di una funzione f(x) in un intervallo [a,b] è dato da:

 

m=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x) \ dx

 

Nel nostro caso abbiamo:

 

m=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi}\left[\cos\left(\frac{x}{2}\right)+\frac{1}{2}\right]dx=\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{2\pi} \cos\left(\frac{x}{2}\right)dx +\frac{1}{2\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{1}{2} dx = \frac{1}{2\pi}\left[2\sin\left(\frac{x}{2}\right)\right]_{0}^{2\pi}+\frac{1}{2\pi}\left[\frac{1}{2}x\right]_{0}^{2\pi}=..\mbox{conti}..=\frac{1}{2}

 

Punto 4

 

Sia R la regione del piano delimitato da \Sigma e dall'asse delle x per 0\leq x \leq 4; R è la base di un solido W le cui sezioni con piani ortogonali all'asse delle x hanno, per ciascun x area A(x)=3\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right). Si calcoli il volume di W.

 

Soluzione: il volume V del solido W lo calcoliamo con l'integrale esteso all'intervallo [0,4] della funzione A(x). In particolare

 

V=\int_{0}^{4} \left[3\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)\right]dx=3\left[-\cos\left(\frac{\pi}{4}x\right)\frac{4}{\pi}\right]_{0}^{4}=3\left(-\cos(\pi)\frac{4}{\pi}+\cos(0)\frac{4}{\pi}\right)=3\left(\frac{4}{\pi}+\frac{4}{\pi}\right)=3\frac{8}{\pi}=\frac{24}{\pi}

 

That's all!

 

 

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