Quesiti della seconda prova PNI di Maturità 2012

Tutti i dieci quesiti con le relative soluzioni della seconda prova PNI, dell'esame di Maturità 2012 (Piano Nazionale Informatica). Ogni risposta che lo richiede presenta il link alla lezione di teoria e al metodo di svolgimento dell'esercizio nel caso generale.

 

Soluzioni dei quesiti della seconda prova PNI della Maturità 2012 

 

1) Si calcoli il limite:

 

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{2^{3x}-3^{4x}}{x^2}

 

1.R) Il limite si presenta nella forma indeterminata \left[\frac{0}{0}\right]. Procederemo con il teorema di De l'Hopital

 

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{2^{3x}-3^{4x}}{x^2}

 

Riscriviamo le funzioni al numeratore di modo che siano facilmente derivabili

 

2^{3x}- 3^{4x}= e^{3x \ln(2)}- e^{4x \ln(3)}

 

Il limite diventa

 

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{e^{3x \ln(2)}- e^{4x \ln(3)}}{x^2}

 

Applicando il teorema di De l'Hopital, le cui ipotesi sono soddisfatte, arriveremo a

 

\lim_{x\to 0^{+}}\frac{3\ln(2)e^{3x\ln(2)}- 4 \ln(3)e^{4x \ln(3)}}{2x}=\left[\frac{3\ln(2)- 4\ln(3)}{0^{+}}\right]= -\infty

 

 

2) Una moneta da 1 euro (diametro 23.25 mm) viene lanciata su un pavimemento ricoperto da mattonelle esagonali (regolari) di lato 10 cm. Qual è la probabilità che la moneta vada a finire internamente ad una mattonella?

 

2.R) Per prima cosa osserviamo la figura:

 

Esagoni concentrici, quesito 2 della prova di Maturità PNI 2012

 

Per prima cosa calcoliamo l'area dell'esagono in rosso, di cui conosciamo che

 

\mbox{apotema}= AH= \sqrt{l^2-\frac{l^2}{4}}= \frac{\sqrt{3}}{2}l= 259.81\,\,mm

 

e con essa possiamo determinare l'area

 

A= \frac{\mbox{Perimetro}\times AH}{2}= \frac{3}{2}\sqrt{3}l^2=25980.80\,\,mm^2

 

Affinché la moneta ricada internamente alla mattonella dobbiamo richiedere che il centro della moneta deve cadere all'esagono S. Consideriamo il triangolo TSO e l'angolo in S che chiamiamo \alpha= 30^o. Per costruzione il segmento ST coincide con il raggio della moneta, inoltre

 

ST= OS \cos(30^o)

 

da cui calcoleremo il segmento che ci serve, cioè OS= \frac{ST}{\cos(30^o)}= \frac{2r}{\sqrt{3}}, e dunque 

 

OT= OS \sin(30^o)= \frac{2r}{\sqrt{3}}\times \frac{1}{2}= \frac{r}{\sqrt{3}}

 

Possiamo a questo punto determinare il lato dell'esagono di colore blu. Esso obbedisce alla relazione:

 

\l_2= l-2 OT= l -\frac{2r}{\sqrt{3}}= 86.58\,\,mm

 

L'apotema dell'esagono in blu è AH_1= AH-r= \frac{\sqrt{3}}{2}l-r=74.98\,\, mm . La sua area è invece

 

\mbox{Area}_{E_2}= \frac{6\times l_2\times AH_1}{2}=19475.30 \,\, mm^2

 

La probabilità cercata è data dal quoziente delle aree dei due esagoni

 

\mbox{Prob}= \frac{\mbox{Area}_{E_2}}{\mbox{Area}}=\frac{19475.30}{25980.80}=  0.749604\simeq 75 \%

 

 

3) Sia f(x)= 3^x. Per quali valori di x, approssimato a meno di 10^{-3} la pendenza della retta tangente alla curva nel punto (x, f(x)) è uguale a 1.

 

3.R) Scriviamo la funzione come f(x)= e^{x\ln(3)}, e deriviamo rispetto ad x:

 

f'(x)= \ln(3)e^{x\ln(3)}

 

La pendenza della retta in un punto generico x è data dalla derivata prima di f. Per soddisfare le richieste dell'esercizio dobbiamo richiedere che f'(x)= 1 che si traduce nell'equazione \ln(3)e^{x\ln(3)}= 1.

 

Dividiamo membro a membro per \ln(3)

 

e^{x\ln(3)}= \frac{1}{\ln(3)}

 

applichiamo il logaritmo membro a membro

 

x\ln(3)= \ln\left(\frac{1}{\ln(3)}\right)

 

dividiamo per \ln(3) e applichiamo una nota proprietà dei logaritmi

 

x= -\frac{\ln(\ln(3))}{\ln(3)}\simeq -0.085

 

 

4) L'insieme dei numeri naturali e l'insieme dei numeri razionali sono insiemi equipotenti? 

 

4.R) Sì, lo sono. Esiste infatti una biezione famosa tra \mathbb{N} e \mathbb{Q} costruità tramite il procedimento diagonale di Cantor. Consiste nel creare una griglia di dimensioni infinite contenente tutte le frazioni, quindi tutti i numeri razionali positivi, dopodiché costruiremo un percorso a zig zag che permetta di dare un ordine e di conseguenza riusciremo a "contarli". 

 

 

5) Siano dati nello spazio n punti P_1, P_2, ..., P_n. Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti triangoli hanno per vertici questi punti (si supponga che i punti non siano allineati)? Quanti tetraedri?

 

5.R) Possiamo rileggere l'esercizio in termini combinatori. Contiamo i modi di scegliere sottoinsiemi di m elementi in un insieme di n elementi;

 

\mbox{numero segmenti}= {n\choose 2}= \frac{n(n-1)}{2}

 

\mbox{numero triangoli}= {n\choose 3}= \frac{n(n-1)(n-2)}{6}

 

\mbox{numero tetraedri}= {n\choose 4}= \frac{n(n-1)(n-2)(n-4)}{24}

 

 

6) Si dimostri che la curva di equazione y= x^3+ ax+ b ha solo un punto di flesso rispetto a cui è simmetrica.

 

6.R) Consideriamo la funzione f(x)= x^3+a x+ b e calcoliamo la derivata prima e seconda:

 

f'(x)= 3x^2+a\Rightarrow f''(x)= 6 x

 

La derivata seconda si annulla per x= 0 ed inoltre f''(x)\textless 0 se e solo se x\textless 0. Questo ci assicura che il punto (0, f(0))= (0,b) è l'unico punto di flesso. Verifichiamo la simmetria rispetto al punto (0, b), prendendo in considerazione la trasformazione x_1= x e y_1= y -b allora l'equazione da

 

y-b= x^3+a x

 

diventa

 

y_1= x_1^3+ a  x_1

 

Questa funzione è dispari e questo dimostra la simmetria puntuale nel punto F.

 

 

7) È dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l'ampiezza dell'angolo \alpha formato da l e h.

 

7.R) Lavoriamo con una faccia del tetraedro regolare, che è ovviamente un triangolo equilatero. Il piede dell'altezza del tetraedro coincide con il circocentro del triangolo equilatero e la distanza tra il circocentro e uno dei vertici del triangolo equilatero è:

 

AC= \frac{\sqrt{3}}{3}l

 

Detto \theta l'angolo al vertice del tetraedro avremo

 

AC= l \sin(\theta)\implies l\sin(\theta)= \frac{\sqrt{3}}{3}l \iff \sin(\theta)= \frac{\sqrt{3}}{3}

 

da cui \theta= \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\simeq 0.6154.

 

 

8) Un'azienda industriale possiede 3 stabilimenti (A,B, C). Nello stabilimento A si produce \frac{1}{2} dei prezzi e il 10\% sono difettosi. Nello stabilimento B si produce \frac{1}{3} dei prezzi e il 7\% sono difettosi. Nello stabilimento C si profucono i pezzi rimanenti  e il 5\% sono difettosi. Sapendo che un pezzo è diffettoso, con quale probabilità proviene dallo stabilimento A? 

 

R.8) L'evento che il pezzo proviene dallo stabilimento A, lo indichiamo con abuso di notazione con A e così via per gli altri eventi. La traccia dell'esercizio ci informa che

 

P(A)= \frac{1}{2}\quad P(B)= \frac{1}{3}\quad P(C)= \frac{1}{6}

 

le quali indicano che la probabilità che il pezzo provenga dallo stabilimeto A è un mezzo, dallo stabilimento B un terzo e dallo stabilimento C un sesto. 

 

Inoltre la probabilità che il pezzo difettoso provenga dallo stabilimento A è P(\mbox{diff}_{A})= \frac{1}{10}, dallo stabilimento B P(\mbox{diff}_{B})= \frac{7}{100} e infine dallo stabilimento C P(\mbox{diff}_{C})= \frac{5}{100}.

 

Per il teorema della probabilità totale si ha che la probabilità che il pezzo difettoso provenga dallo stabilimento A è:

 

P(A_{\mbox{diff}})= \frac{P(D\cap A)}{P(D)}= \frac{\frac{1}{2}\cdot 0.1}{\frac{1}{3}\cdot 0.01+ \frac{1}{3}\cdot 0.07+ \frac{1}{6}\cdot 0.05}= 61.2\%

 

dove con P(D) indichiamo la probabilità che pezzo proviente dai tre stabilimenti sia difettoso.

 

 

9) Il problema di Erone consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r.

 

9.R) Per costruire il percorso minimo considero i punti A' e B' simmetrici rispettivamente ad A e B rispetto alla retta r. La distanza più breve tra A' e B è ovviamente il segmento A'B ed interseca la retta r nel punto P. che si candida come punto per il quale il percorso APB è quello minimo.

 

Percorso minimo nel nono quesito di Maturità 2012

 

Consideriamo ora un punto P' appartenetente alla retta r diverso da P, si ha che

 

AP'+ P'B> AP+ PB

 

infatti se congiungiamo P' con B' abbiamo che P'B'= P'B  e dunque

 

AP'+ P'B= AP'+ P'B  e AP+ PB= AP+PB'

 

d'altra parte per la disuguaglianza triangolare avremo AP>AP', pertanto AP'+PB>AP +PB.

 

 

10) Si provi che fra tutti i coni circolari retti circoscritti ad una sfera di raggio r, quello di minima area laterale ha vertice che dista r\sqrt{2} dalla superficie sferica.

 

10.R) In riferimento alla figura, chiamiamo HB il raggio della circonferenza di base del cono, e VB l'apotema.

 

Sezione del cono nel quesito 10, Maturità PNI 2012

 

Con le formule dirette del cono calcoliamo la superficie laterale: S_{l}= \pi HB\cdot VB.

 

Sia ora x= VE con x\textgreater 0 cioè la distanza cercata. L'altezza del cono è dato dalla somma tra x e il diametro della sfera VH= x+ 2r. Siamo interessanti anche al segmento VD che possiamo ottenere tramite l'applicazione del teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo VCD

 

VD= \sqrt{(x+r)^2 -r^2}= \sqrt{x^2+2r x}

 

Per la similitudine dei triangoli VCD e VHB si ha che:

 

VH: HB= VD: VC equivalente a (x+2r): VB= \sqrt{x^2+2 r x}: (x+r)

 

VB= \frac{(x+ 2 r)(x+r)}{\sqrt{x^2+2r x}}

 

di conseguenza

 

S_{l}= \pi HB\cdot VB=\frac{\pi r (x+ 2r) }{\sqrt{x^2+ 2r x}}\cdot \frac{(x+2r)(x+r)}{\sqrt{x^2+ 2r x}}

 

Effettuando le moltiplicazioni e in seguito le dovute sostituzioni

 

S_{l} = \pi \frac{r (x+2r)(x+r)}{x}

 

f(x)= \pi \frac{r (x+2r)(x+r)}{x}

 

la derivata prima è

 

f'(x)= \frac{\pi (x^2-2 r^2)}{x}

 

Troviamo gli zeri della derivata prima 

 

f'(x)= 0  

 

che conduce x= \sqrt{2}r inoltre f'(x)\textless 0 che ha per insieme soluzione 0\textless x\textless \sqrt{2}r. Con questo concludiamo dicendo che la funzione f(x) ha massimo per x= \sqrt{2}r e questo dimostra l'asserto. 

 

Dubbi? Domande? Cerca le risposte ai tuoi dubbi con la barra di ricerca, abbiamo risolto e spiegato migliaia di esercizi nei minimi dettagli...

 

 

Indietro..........Su


Tags: risposte dei quesiti dell'esame di Maturità 2012, seconda prova per il PNI - soluzioni dei dieci quesiti dell'esame di Stato 2012 per il Piano Nazionale Informatica.