Soluzione esame di Stato PNI 2012 - problema 1

Stai per leggere la soluzione del problema 1 dell'esame di Stato 2012 per il PNI (Piano Nazionale Informatica). Lo svolgimento è suddiviso per punti e ogni passaggio che lo richiede è collegato alla lezione di teoria o al metodo di risoluzione necessario, per permetterti di preparare l'esame di Maturità al meglio.

 

Testo del problema 1 dell'esame di Stato 2012 per il PNI

 

Della funzione f, definita per 0\le x\le 6 si sa che è dotata di derivata prima e seconda e che il grafico della sua derivata f'(x), disegnato a lato, presenta due tangenti orizzontali per x= 2 e per x= 4, si sa anche che f(0)= 9, f(3)= 6, f(5)= 3.

 

Immagine del problema 1 dell'esame di Stato 2012

 

1) Si trovino le ascisse dei punti di flesso di f motivando le risposte.

 

2) Per quale valore di x la funzione f presenta il minimo assoluto? Sapendo che \int_{0}^{6}f'(x)dx= -5 Per quale valore di x la funzione f presenta il suo massimo assoluto?

 

3) Sulla base delle informazioni note, quale andamento potrebbe avere il grafico di f?

 

4) Sia g la funzione definita da g(x)= x f(x). Si trovino le equazioni delle rette tangenti ai grafici di f e di g nei rispettivi punti di ascissa x= 3, si determini la misura, in gradi e primi, dell'angolo acuto che essi formano.

 

Soluzione per punti del problema 1 - esame di Stato 2012 PNI

 

(Per comodità ricopieremo in ogni punto la parte corrispondente del testo).

 

Punto 1

 

Si trovino le ascisse dei punti di flesso di f motivando le risposte.

 

Svolgimento: affinché f abbia punti di flesso dobbiamo richiedere che la derivata seconda si annulli in particolari punti, i quali saranno punti stazionali per la funzione f'(x), nel nostro caso, guardando il grafico x= 2 e x= 4 fanno al caso nostro. E' interessante osservare che in un opportuno intorno di x= 2 la funzione f'(x)\le 0 e f'(x)= 0 quindi il flesso è a tangente orizzontale.

 

Punto 2

 

Per quale valore di x la funzione f presenta il minimo assoluto? Sapendo che \int_{0}^{6}f'(x)dx= -5 Per quale valore di x la funzione f presenta il suo massimo assoluto? 

 

Risposta: studiamo il segno della derivata prima. Dal grafico si evince che f'(x)\le 0\iff 0\le x\le 5 mentre f'(x)\ge 0\iff 5\le x\le 6, si ha quindi che la funzione f(x) decresce in (0,5) mentre cresce in (5, 6). x= 5 è il punto di minimo e il minimo assoluto vale f(5)=3 (valore dato dalla traccia).

 

Da notare che per ipotesi la funzione f è definita in un intervallo chiuso e limitato ed è inoltre contina in esso, perché la derivata prima presenta è ivi continua. Il teorema di Weierstrass ci assicura l'esistenza dei punti di massimo e di minimo. Ci manca il punto di massimo che deve necessariamente vivere agli estremi. Non sappiamo però il valore che la funzione assume per x= 6,  f(6). Ci viene in soccorso il teorema fondamentale del calcolo integrale

 

\int_{0}^{6}f'(x)dx= f(6)-f(0)= -5\implies f(6)= -5+f(0)= -5+9= 4.

 

Poiché f(0)\ge f(6) allora x= 0 è punto di massimo assoluto e il massimo vale f(0)= 4.

 

Punto 3

 

Sulla base delle informazioni note, quale andamento potrebbe avere il grafico di f? 

 

Soluzione: abbiamo visto che  ha massimo assoluto in 0, ha un punto di flesso a tangente orizzontale in x= 2, decresce fino ad x= 5 per il quale abbiamo un minimo assoluto e poi ricomincia a crescere.

 

Punto 4

 

Sia g la funzione definita da g(x)= x f(x). Si trovino le equazioni delle rette tangenti ai grafici di f e di g nei rispettivi punti di ascissa x= 3, si determini la misura, in gradi e primi, dell'angolo acuto che essi formano.

 

Svolgimento: per la regola di derivazione del prodotto:

 

g'(x)= f(x)+ x f'(x) e dunque g'(3)= f(3)+ 3 f'(3)= 6+ 3 (-1)= 3 e inoltre g(3)= 3 f(3)= 18.

 

L'equazione della retta tangente al grafico G_g è r: y= g'(3)(x-3)+ g(3) se e solo se y= 3x+ 9 mentre l'equazione della retta tangente al grafico della funzione f è:

 

r: y= f'(3)(x-3)+ f(3)\iff y= (-1)(x-3)+ 6\iff y= -x+9

 

L'angolo acuto tra le due rette è dato dall'equazione:

 

\tan(\alpha)= \left|\frac{m_1- m_2}{1+ m_1 m_2}\right|= 2

 

dove con m_1, m_2 indichiamo i coefficienti angolari delle rette. Possiamo affermare che \alpha = \arctan(2)= 63^{o}26' 5''.

 

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