Quesiti della seconda prova di Maturità 2012

I testi e gli svolgimenti dei dieci quesiti della seconda prova dell'esame di Stato 2012, tratti dalla Maturità nel liceo Scientifico tradizionale. Ogni quesito è corredato da una risposta dettagliata con i collegamento ai metodi di risoluzione e a tutta la teoria necessaria.

 

Tracce e soluzioni dei quesiti - seconda prova della Maturità 2012

 

1) Cosa rappresenta il limite seguente e qual è il suo valore:

 

\lim_{h\to 0}\frac{5\left(\frac{1}{2}+h\right)^4- 5 \left(\frac{1}{2}\right)^4}{h}

 

1.R) Rappresenta il limite del rapporto incrementale della funzione f(x)= 5 x^4 centrato nel punto x_0 = \frac{1}{2}. Il suo valore coincide quindi con la derivata prima della funzione f valutata nel punto x= \frac{1}{2}.

 

\begin{align*}\lim_{h\to 0}\frac{5 \left(\frac{1}{2}+h\right)^4- 5\left(\frac{1}{2}\right)^4}{h}&=f'\left(\frac{1}{2}\right)\\&= [20 x^3]_{x= \frac{1}{2}}= \frac{5}{2}\end{align}

 

 

2) Si illustri il significato di asintoto e si fornisca un esempio di funzione f(x) il cui grafico presenti un asintoto orizzontale e due asintoti verticali.

 

2.R) Per quanto riguarda la teoria e tutto quello che c'è da sapere, vi rimandiamo alla lezione sugli asintoti orizzontali e sugli asintoti verticali. Come esempio riportiamo la funzione

 

f(x)= \frac{1}{1-x^2}

 

È chiaro che x= -1 e x= 1 sono asintoti verticali per la funzione, per vederlo basta calcolare i limiti

 

\lim_{x\to-1^{+}} f(x)= +\infty \qquad \lim_{x\to-1^{-} }f(x)= - \infty e

 

\lim_{x\to 1^{+}} f(x)= -\infty \qquad \lim_{x\to 1^{-} }f(x)= + \infty

 

Inoltre per quel che riguarda i limiti all'infinito abbiamo

 

\lim_{x\to \pm \infty}f(x)= 0

 

questo a riprova del fatto che y= 0 è un asintoto orizzontale per la funzione.

 

 

3) La posizione di una particella è data da s(t)= 20 (e^{-\frac{t}{2}}+t-2). Qual è la sua accelerazione al tempo t= 4?

 

3.R) Qui interviene il significato fisico di derivata prima e seconda. Sappiamo infatti che la derivata prima ha il significato fisico di velocità istantanea, in particolare v(t)= s'(t)= 20\left(1-\frac{e^{-\frac{t}{2}}}{2}\right) è la velocità istantanea al variare del tempo t e si ottiene derivando la funzione posizione. Derivando rispetto al tempo la velocità otterremo l'accelerazione, infatti la derivata seconda della funzione posizione ha il significato fisico di accelerazione

 

a(t)= v'(t)= s''(t)=5 e^{-\frac{t}{2}}

 

Dopo averla calcolata ci basta valutare la derivata seconda in t= 4, per cui ricaviamo a(4)= 5 e^{-2}.

 

 

4) Qual è la capacità massima, in litri, di un cono di apotema un metro? 

 

4.R) Dobbiamo calcolare il volume del cono, un disegno ci tornerà utile

 

Cono del quesito 4 dell'esame di Stato 2012

 

Prendiamo come variabile h, per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo generatore avremo che il raggio è

 

r= \sqrt{a^2-h^2} = \sqrt{1-h^2}\mbox{ con }0\textless h\textless  1

 

Il volume dipendente dalla lunghezza dell'altezza è

 

V(h)= \frac{\pi (\sqrt{1-h^2})^2 h}{3}= \frac{\pi}{3} (h-h^3)

 

Calcoliamo la derivata prima rispetto ad h

 

V'(h)= \frac{\pi}{3}(1-3h^2)

 

La derivata prima della funzione V è zero se e solo se 1-3h^2= 0{tex} cioè {tex}h= \frac{1}{\sqrt{3}} (la soluzione negativa va scartata per questioni geometriche). Inoltre la derivata prima della funzione è positiva se e solo se 0\textless h\textless \frac{1}{\sqrt{3}} mentre è negativa se \frac{1}{\sqrt{3}}\textless h\textless 1

 

Ne deduciamo che h= \frac{1}{\sqrt{3}} è un punto di massimo. Il volume massimo vale V(1/\sqrt{3})= \frac{2\pi }{9 \sqrt{3}} m^3= \frac{2000 \pi}{9 \sqrt{3}}\mbox{ litri}.

 

 

5) Siano dati nello spazio n punti P_1, P_2, ..., P_n. Quanti sono i segmenti che li congiungono a due a due? Quanti triangoli hanno per vertici questi punti (si supponga che i punti non siano allineati)? Quanti tetraedri? 

 

5.R) Possiamo rileggere l'esercizio in termini combinatori. Contiamo i modi di scegliere sottoinsiemi di m elementi in un insieme di n elementi facendo ricorso alle combinazioni semplici;

 

\mbox{numero segmenti}= {n\choose 2}= \frac{n(n-1)}{2}

 

\mbox{numero triangoli}= {n\choose 3}= \frac{n(n-1)(n-2)}{6}

 

\mbox{numero tetraedri}= {n\choose 4}= \frac{n(n-1)(n-2)(n-4)}{24}

 

 

6) Sia f(x)= 5 \sin(x)\cos(x)+ \cos^2(x)-\sin^2(x)- \frac{5}{2}\sin(2x )- \cos(2x)-17.

 

Calcolare f'(x)

 

6.R) Facendo ricorso alle formule di duplicazione, cioè osservando che \sin(2x)= 2\sin(x)\cos(x) e che \cos(2x)= \cos^2(x)- \sin^2(x) e sommando i termini simili, scopriamo che la funzione si riduce ad essere f(x)= -17 e la sua derivata è banalmente f'(x)= 0.

 

 

7) È dato un tetraedro regolare di spigolo l e altezza h. Si determini l'ampiezza dell'angolo \alpha formato da l e h.

 

7.R) Lavoriamo con una faccia del tetraedro regolare, che è ovviamente un triangolo equilatero. Il piede dell'altezza del tetraedro coincide con il circocentro del triangolo equilatero e la distanza tra il circocentro e uno dei vertici del triangolo equilatero è:

 

AC= \frac{\sqrt{3}}{3}l

 

Detto \theta l'angolo al vertice del tetraedro avremo che:

 

AC= l \sin(\theta)\implies l\sin(\theta)= \frac{\sqrt{3}}{3}l \iff \sin(\theta)= \frac{\sqrt{3}}{3}

 

da cui \theta= \arcsin\left(\frac{\sqrt{3}}{3}\right)\simeq 0.6154

 

 

8) Qual è il valor medio della funzione f(x)= \frac{1}{x} da x= 1 a x= e? 

 

8.R) Per definizione di valor medio:

 

M(f, 1,e)= \frac{\int_{1}^{e}\frac{1}{x}dx}{e-1}= \frac{\ln(e)- \ln(1)}{e-1}= \frac{1}{e-1}

 

 

9) Il problema di Erone consiste, assegnati nel piano due punti A e B, situati dalla stessa parte rispetto ad una retta r nel determinare il cammino minimo che congiunge A con B toccando r.

 

9.R) Per costruire il percorso minimo considero i punti A' e B' simmetrici rispettivamente ad A e B rispetto alla retta r. La distanza più breve tra A' e B è ovviamente il segmento A'B ed interseca la retta r nel punto P. che si candida come punto per il quale il percorso APB è quello minimo.

 

Percorso minimo nel nono quesito di Maturità 2012

 

Consideriamo ora un punto P' appartenetente alla retta r diverso da P, si ha che:

 

AP'+ P'B> AP+ PB

 

Poiché se congiungiamo P' con B' abbiamo che P'B'= P'B  e dunque:

 

AP'+ P'B= AP'+ P'B  e AP+ PB= AP+PB'

 

ma per la disuguaglianza triangolare avremo AP>AP', pertanto AP'+PB>AP +PB.

 

 

10) Quale delle seguenti funzioni è positiva per ogni x reale? 

 

A\,\,\, \cos(\sin(x^2+1))

 

B\,\,\, \sin(\cos(x^2+1))

 

C\,\,\, \sin(\ln(x^2+1))

 

D\,\,\,\cos(\ln(x^2+1))

 

10.R) La risposta corretta è la A. x^2+1 ha per immagine l'insieme [1, +\infty) e il seno in questo intervallo, varia tra -1 e 1. Di conseguenza l'argomento del coseno è una quantità che varia in [-1,1]. A questo punto possiamo concludere giacché il coseno è positivo nell'intervallo [-1,1].

 

 

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