Soluzione esame di Stato 2012 - problema 2

Sei pronto per leggere lo svolgimento del problema 2, tratto dalla seconda prova dell'esame di Stato 2012? Nota: il problema riguarda la traccia dell'esame di Maturità 2012 per il liceo Scientifico tradizionale.

 

Traccia del problema 2 dell'esame di Stato 2012

 

Nel primo quadrante del sistema di riferimento Oxy sono assegnati l'arco di circonferenza di centro O e estremi A(3,0) e B(0,3) e l'arco L della parabola di equazione x^2= 9- 6y i cui estremi sono il punto A e \left(0, \frac{3}{2}\right).

 

1) Sia r la retta tangente in A a L. Si calcoli l'area di ciascuna delle parti in cui r divide la regione racchiusa tra L e l'arco AB.

 

2) La regione R è la base di un solido W le cui sezioni ottenute tagliando W con piani perpendicolari all'asse X, hanno per ogni x\in [0,3] area S(x)= e^{5-3x}. Si determini il volume di W.

 

3) Si calcoli il volume del solido di rotazione attorno all'asse x.

 

4) Si provi che l'arco L è il luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti internamente all'arco AB e all'asse X. Infine, tra le circonferenze di cui L è il luogo dei centri si dermini quella tantente anche all'arco di circonferenza di centro A e raggio 3.

 

Risoluzione per punti del problema 2 - esame di Stato 2012

 

(Per comodità ricopieremo in ogni punto la parte corrispondente del testo).

 

Punto 1

 

Sia r la retta tangente in A a L. Si calcoli l'area di ciascuna delle parti in cui r divide la regione racchiusa tra L e l'arco AB.

 

Svolgimento: l'equazione della circonferenza con centro (0,0) e raggio 3 ha equazione:

 

x^2+y^2= 9

 

e scrivendo y in funzione di x otteniamo y= \sqrt{9-x^2}\quad \forall x\in [0, 3] (vincolo dato dall'esercizio, lavoriamo nel primo quadrante.) L'equazione della parabola scritta in forma normale è

 

y=f(x)=  \frac{9-x^2}{6}.

 

La retta tangente nel punto A(3,0) è y= f'(3)(x-3)+f(3)\iff y= -x+3, passa per il punto B(0,3) e divide la regione in due parti:

 

S=\left\{(x,y): 0\le x\le 3, -x+3\le y\le \sqrt{9-x^2}\right\}

 

e

 

T=\left\{(x,y): 0\le x\le 3, \frac{9-x^2}{6}\le y\le -x+3\right\}

 

Area delle regioni piane del punto 1 del problema 2, esame di Stato 2012

 

Per l'interpretazione geometrica dell'integrale avremo che

 

\mbox{Area}(S)= \int_{0}^{3}\sqrt{9-x^2}- (-x+3)dx=\int_{0}^{3}\sqrt{9-x^2}dx-\int_{0}^{3}3dx+\int_{0}^{3}xdx

 

Il secondo e terzo integrale sono facilmente risolvibili, il primo invece può nascondere un po' di ostacoli, nulla che non possiamo superare comunque...

 

\int_{0}^{3}\sqrt{9-x^2}dx (mettiamo in evidenza il 9 dentro la radice)

 

\int_{0}^{3}\sqrt{9\left(1-\frac{x^2}{9}\right)}dx=\int_{0}^{3}3\sqrt{1-\left(\frac{x}{3}\right)^2} dx

 

Poniamo t= \frac{x}{3}\implies dt= \frac{dx}{3}\implies dx= 3dt. Gli estremi di integrazione diventano t_1= 0, t_2= 1, e l'integrale si riscrive come:

 

\int_{0}^{1}3\sqrt{1-t^2}\cdot 3dt= 9\int_{0}^{1}\sqrt{1-t^2}dt=9\left[\frac{1}{2}\left(t\sqrt{1-t^2}+ \arcsin(t)\right)\right]_{0}^{1}= \frac{9\pi}{4}

 

In definitiva, possiamo calcolare l'area come

 

\mbox{Area}(S)= \overbrace{\int_{0}^{3}\sqrt{9-x^2}dx}^{= \frac{9\pi}{4}}-\overbrace{\int_{0}^{3}3dx}^{= 9}+ \overbrace{\int_{0}^{3}xdx}^{=\frac{9}{2} }=\frac{9}{4}(\pi-2)\simeq 2.56858 .

 

L'area della regione T è invece data da:

 

\mbox{Area}(T)= \int_{0}^{3}3-x-\left(\frac{9-x^2}{6}\right)dx= \frac{3}{2}

 

Punto 2

 

La regione R è la base di un solido W le cui sezioni ottenute tagliando W con piani perpendicolari all'asse x, hanno per ogni x\in [0,3] area S(x)= e^{5-3x}. Si determini il volume di W.

 

Svolgimento: poiché ogni sezione ha area S(x)= e^{5-3x} e per la teoria dell'integrazione per fette il volume del solido W è dato dall'integrale:

 

\mbox{Volume}(W)= \int_{0}^{3}S(x)dx= \int_{0}^{3}e^{5-3x}= e^{5}\left[-\frac{e^{3x}}{3}\right]_{0}^{3}=\frac{e^5}{3}-\frac{e^{-4}}{3}.

 

Punto 3

 

Si calcoli il volume del solido di rotazione attorno all'asse x .

 

Svolgimento: si utilizza la formula per il volume di solidi di rotazione attorno all'asse x

 

\mbox{Volume}= \pi \int_{0}^{3}(\sqrt{9-x^2})^2-\left(\frac{9-x^2}{6}\right)^2dx= \frac{72}{5}\pi

 

L'integrale è di facile risoluzione perché può essere risolto per decomposizione in somme. 

 

Punto 4

 

Si provi che l'arco L è il luogo geometrico descritto dai centri delle circonferenze tangenti internamente all'arco AB e all'asse X. Infine, tra le circonferenze di cui L è il luogo dei centri si dermini quella tantente anche all'arco di circonferenza di centro A e raggio 3.

 

Svolgimento: per prima cosa, disegnamo un po', non fa mai male...

 

Ramo e arco nel punto 4 del problema 2 dell'esame di Stato 2012

 

Sia C(x_0, y_0) il centro della circonferenza tangente internamente all'arco AB e l'asse X. Per costruzione sappiamo che OT= 3 e OC= \sqrt{x_0^2+ y_0^2} pertanto il segmento CT misura

 

CT= OT-OC= 3-\sqrt{x_0^2+y_0^2}

 

Per la definizione di circonferenza dobbiamo richiedere che CS= CT e cioè:

 

y_0= 3- \sqrt{x_0^2+y_0^2}\iff \sqrt{x_0^2+ y_0^2}= (3-y_0)

 

elevando membro a membro al quadrato otterremo:

 

x_0^2+ y_0^2= (3-y_0)^2\iff x_0^2+ 6 y_0 - 9= 0

 

che è l'equazione della parabola.

 

Occupiamoci della seconda parte dell'esercizio in cui si richiede di determinare la circonferenza tangente internamente all'arco AB, all'asse X e alla circonferenza di centro A e raggio 3.

 

Circonferenza tangente internamente, punto 4 del problema 2 dell'esame di Maturità 2012

 

L'equazione della circonferenza di centro A e raggio 3 è (x-3)^2+ y^2= 9 cioè

 

y= \sqrt{9- (x-3)^2}\mbox{ con }x\in [0,3].

 

Geometricamente viene a generarsi una simmetria rispetto alla retta parallela all'asse y passante per il punto di intersezione delle due circonferenze:

 

\begin{cases}y= \sqrt{9-x^2}\\ y= \sqrt{9- (x-3)^2}\end{cases}\implies \sqrt{9-x^2}= \sqrt{9-(x-3)^2}

 

elevando membro a membro al quadrato

 

9-x^2= 9- (x-3)^2\iff x= \frac{3}{2}

 

x= \frac{3}{2} è l'ascissa del centro della circonferenza cercata. L'ordinata si ottiene valutando la funzione f(x)= \frac{9-x^2}{6}\implies f\left(\frac{3}{2}\right)= \frac{9}{8}. Il raggio coincide necessariamente con l'ordinata del centro, perché l'asse X è tangente alla circonferenza. Possiamo concludere che l'equazione cercata è:

 

\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+\left(y-\frac{9}{8}\right)^2= \left(\frac{9}{8}\right)^2

 

che scritta in forma canonica diventa

 

4x^2+ 4 y^2- 24x - 9 y+ 9 = 0

 

Abbiamo finito! Se dovessi avere dubbi o domande sappi che puoi cercare tutte le risposte che ti servono con la nostra barra di ricerca...abbiamo risolto e spiegato nel dettaglio migliaia e migliaia di esercizi!

 

 

Indietro..........Su..........Avanti


Tags: soluzione del problema 2 dell'esame di Maturità 2012 per il liceo Scientifico tradizionale - svolgimento del secondo problema dell'esame di Stato 2012.