Soluzione esame di Maturità 2012 - problema 1

In questa pagina trovi la risoluzione del problema 1 dell'esame di Maturità del 2012, tratto dalla traccia assegnata al liceo Scientifico tradizionale. Ogni passaggio che lo richiede è collegato alle lezioni e ai metodi di risoluzione necessari, spiegati in generale.

 

Testo del problema 1 dell'esame di Maturità 2012

 

Siano f,g le funzioni definite per tutti gli x reali da

 

f(x)= |27 x^3| e g(x)= \sin\left(\frac{3}{2}\pi x\right\).

 

1) Qual è il periodo della funzione g? Si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G_{f} e G_g in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy.

 

2) Si scrivano le equazioni delle rette tangenti r e s, rispettivamente a G_{f} e G_g nel punto di ascissa x= \frac{1}{3}. Qual è l'ampiezza, in gradi, primi sessagesimali dell'angolo acuto formato da r e s?

 

3) Sia R la regione delimitata da G_f e G_g. Si calcoli l'area di R.

 

4) La regione R, ruotando attorno all'asse x, genera il solido di rotazione S, e ruotando attorno all'asse Y, il solido T. Si scrivano spiegandone il perché, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi S e T.

 

Risoluzione per punti del problema 1 - Esame di Maturità 2012

 

(Per comodità ricopieremo in ogni punto la parte corrispondente del testo).

 

Punto 1

 

Qual è il periodo della funzione g? Si studino f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici G_{f} e G_g in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Ox y.

 

Svolgimento: la funzione  \sin(t) è una funzione periodica di periodo  2\pi di conseguenza la funzione g(x)= \sin\left(\frac{3}{2}\pi x\right) è periodica di periodo \tau= \frac{2\pi}{\frac{3}{2}\pi}=\frac{4}{3}

 

Cominciamo con gli studi di funzione, e partiamo da f(x)=|27 x^3|. Il dominio è l'intero asse reale, Dom(f)=\mathbb{R}, e per quanto riguarda la presenza di eventuali parità e disparità è facile vedere che la funzione è pari. Basta calcolare

 

f(-x)= |27 (-x)^3|=|-27 x^3|= |27 x^3|= f(x)

 

abbiamo quindi una simmetria rispetto all'asse delle ordinate. Per quel che riguarda le intersezioni con l'asse x dobbiamo risolvere il sistema

 

\begin{cases}y= |27x^3|\\ y=0\end{cases}

 

che conduce all'equazione risolvente |27x^3|= 0, da cui 27x^3= 0 e dunque x= 0. Il punto di intersezione cercato è A=(0,0).

 

Per l'intersezione con l'asse Y è sufficiente valutare la funzione in x= 0. Vediamo che f(0)=0, di conseguenza il punto di intersezione con l'asse Y coincide quindi con A= (0,0).

 

Passiamo ai limiti agli estremi del dominio: ne dobbiamo calcolare solo due, che condensiamo in un'unico limite

 

\lim_{x\to \pm \infty}= |2 x^3|= +\infty

 

Non ci sono asintoti obliqui perché i limiti \lim_{x\to \pm\infty}\frac{f(x)}{x} non sono finiti.

 

Ora dobbiamo studiare la monotonia della funzione. Calcoliamo la derivata prima

 

f'(x)= \frac{|27 x^3|}{27 x^3}\cdot 81 x^2= \frac{|81 x^3|}{x}\quad \forall x\in \mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}

 

e controlliamo la derivabilità in 0 con la definizione. Dobbiamo vedere se esistono finiti e coincidono i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale associato alla funzione nel punto x= 0.

 

\lim_ {h\to 0^{+}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}= \lim_{h\to 0^{+}}\frac{|27 h^3|}{h}

 

Osserviamo che per h tendente a zero da destra (per intenderci, per valori poco più grandi di 0) possiamo eliminare il valore assoluto senza cambiare segno, ossia |27 h^3|= 27 h^3. Ne deduciamo che il precedente limite si scriverà come

 

\lim_ {h\to 0^{+}}\frac{f(0+h)-f(0)}{h}= \lim_{h\to 0^{+}}\frac{27 h^3}{h}= 0

 

Per il limite al tendere di h a 0 da sinistra ci comportiamo in modo analogo

 

\lim_{h\to 0^{-}}\frac{f(h)-f(0)}{h}= \lim_{h\to 0^{-}}\frac{-27 h^3}{h}= 0

 

La funzione f è derivabile in 0 perché soddisfa la condizione di derivabilità ed inoltre f'(0)= 0. In definitiva risulta

 

f'(x)= \begin{cases}\frac{|27x^3|}{x}&\mbox{ se }x\ne 0 \\ 0 &\mbox{ se } x= 0\end{cases}

 

La derivata prima si annulla se e solo se x= 0 e il teorema di Fermat ci assicura l'esistenza di un punto estremale di cui è necessario studiarne la natura. Per fare ciò analizzeremo il segno della derivata prima. In realtà è molto semplice, perché la presenza del valore assoluto semplifica notevolmente le cose. Pochi semplici calcoli ci permettono di concludere che

 

f'(x)\,\textgreater\, 0 \iff x\,textgreater\, 0

 

f'(x)\, \textless\, 0 \iff x\, \textless\, 0

 

per cui x= 0 è un punto di minimo relativo (in realtà assoluto). Il minimo vale m= f(0)= 0.

 

Dopo la monotonia ci occupiamo della convessità, indi per cui calcoliamo la derivata seconda

 

f''(x)= \begin{cases}\frac{162 |x^3|}{x^2}\mbox{ se }x\ne 0 \\0 &\mbox{ se }x= 0\end{cases}

 

La derivata seconda si annulla per x=0, inoltre essa è positiva per ogni x\in \mathbb{R}\setminus\left\{0\right\}. Concludiamo che la funzione è convessa per x\,\textless 0 e per x\, \textgreater 0.

 

Il punto (0,0) è un punto di flesso per la funzione f.

 

 

Studiamo la seconda funzione

 

g(x)= \sin\left(\frac{3}{2}\pi x\right).

 

Abbiamo visto che la funzione è periodica di periodo T= \frac{4}{3}, dunque ci limitiamo a studiarla in \left[0, \frac{4}{3}\right] e a prolungarla con periodicità. Procediamo punto per punto come nel caso della prima funzione:

 

Dominio: è ovviamente tutto l'asse reale. 

 

Parità e disparità: la funzione è dispari e per scoprirlo ci basta vedere che g(-x)=-g(x), infatti

 

g(-x )= \sin\left(\frac{3}{2}\pi (-x)\right)=-\sin\left(\frac{3}{2}\pi x\right)= -g(x)\quad \forall x\in \mathbb{R}

 

di conseguenza il grafico sarà simmetrico rispetto all'origine degli assi.

 

Intersezioni con l'asse x: dobbiamo risolvere il sistema

 

\begin{cases}y= \sin\left(\frac{3}{2}\pi x\right)\\ y= 0 \end{cases}\iff \sin\left(\frac{3}{2}\pi x \right)= 0

 

Dato che il seno si annulla quando il suo argomento è uguale a k \pi , con k intero, ci basterà imporre l'uguaglianza \frac{3}{2}\pi x= k \pi da cui x= \frac{2}{3}k con k intero.

 

Limiti agli estremi: ne dobbiamo calcolare solamente due

 

\lim_{x\to -\infty}\sin\left(\frac{3}{2}\pi x\right)\mbox{ e }\lim_{x\to +\infty}\sin\left(\frac{3}{2}\pi x\right)

 

Entrambi i limiti non esistono perché la funzione seno è "oscillante".

 

Derivata prima: g(x) è una funzione composta, per cui useremo la regola di derivazione per le funzioni composte

 

g'(x)= \cos\left(\frac{3}{2}\pi x\right)\cdot \frac{3}{2}\pi

 

cerchiamone gli zeri risolvendo l'equazione

 

\cos\left(\frac{3}{2}\pi x \right)= 0.

 

Eliminiamo il coseno passando a \frac{3}{2}\pi x = (2k+1) \frac{\pi}{2}, da cui risulta x= \frac{(2k+1)}{3} (con k intero).

 

Segno della derivata prima: dato che la funzione può essere studiata nell'intervallo \left[0, \frac{4}{3}\right] per periodicità. Risolviamo la disequazione g'(x)\,\textgreater 0, ossia

 

\sin\left(\frac{3}{2}\pi x \right)\,\textgreater 0

 

la cui soluzione è 0\le x \textless \frac{1}{3}\vee 1\textless x\le \frac{4}{3}.

 

Da qui ricaviamo che la funzione g è crescente nell'intervallo 0 \le x\textless \frac{1}{3}\right)\vee 1\,\textless x \le \frac{4}{3} mentre è decrescente in \frac{1}{3}\,\textless x \textless 1. Conseguentemente x= \frac{1}{3} è punto di massimo per la funzione e x= 1 è punto di minimo. Il massimo e il minimo corrispondono rispettivamente a 1 e -1.

 

Derivata seconda e studio della concavità e convessità: anche in questo caso ci serve la formula di derivazione per le funzioni composte

 

g''(x)= -\frac{9}{4}\pi^2 \sin\left(\frac{3}{2}\pi x \right)

 

Essa si annulla nei punti x= 0\vee x= \frac{2}{3}\vee x= \frac{4}{3}. Fatto ciò studiamo il segno della derivata seconda così da determinare gli intervalli di concavità e convessità nell'intervallo di riferimento \left[0, \frac{4}{3}\right]

 

g''(x)\,\textgreater 0\iff \frac{2}{3}\textless x\textless \frac{4}{3}

 

Concludiamo lo studio asserendo che la funzione g è convessa in \left(\frac{2}{3}, \frac{4}{3}\right) è concava in \left(0, \frac{2}{3}\right). I punti x= 0, x= \frac{2}{3}, x= \frac{4}{3} sono di flesso per la funzione.

 

Grafici delle due funzioni del punto 1, problema 1 della maturità 2012

 

Punto 2

 

Si scrivano le equazioni delle rette tangenti r e s, rispettivamente a G_{f} e G_g nel punto di ascissa x= \frac{1}{3}. Qual è l'ampiezza, in gradi, primi sessagesimali dell'angolo acuto formato da r e s?

 

Svolgimento: la retta r tangente a G_f nel punto di ascissa x=\frac{1}{3} è data dalla relazione (vedi retta tangente al grafico di una funzione in un punto):

 

r: y= f'\left(\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)+ f\left(\frac{1}{3}\right)

 

dove f'\left(\frac{1}{3}\right)= 9,\,\, f\left(\frac{1}{3}\right)= 1, sostituendo tali valori nell'espressione

 

r: y = 9\left(x-\frac{1}{3}\right)+1\iff y= 9 x-2

 

La retta s sarà invece: 

 

s: y= g'\left(\frac{1}{3}\right)\left(x-\frac{1}{3}\right)+ g\left(\frac{1}{3}\right) in cui

 

g'\left(\frac{1}{3}\right)= 0 mentre g\left(\frac{1}{3}\right)= 1.

 

La retta cercata è s: y= 1. Non ci rimane che determinare l'angolo acuto formato dalle rette r e s, per il quale utilizzeremo la formula:

 

\alpha= \arctan\left|\frac{m_1-m_2}{1+m_1 m_2}\right|

 

dove m_1,m_2 sono i coefficienti angolari delle due rette. Nel nostro caso:

 

\alpha= \arctan\left|\frac{9-0}{1+0}\right|= 1.46014 \mbox{rad}= 83.6598^{o}=83^{o}39, 58' .

 

Punto 3

 

Sia R la regione delimitata da G_f e G_g. Si calcoli l'area di R.

 

Svolgimento: dal grafico si evince che i punti di intersezione sono: x= 0\vee x= \frac{1}{3}, inoltre g(x)\ge f(x), \forall x\in\left[0,\frac{1}{3}\right]. Dall'interpretazione geometrica dell'integrale abbiamo che

 

Area della regione piana nel problema 1 di Maturità 2012

 

\mbox{Area}(R)= \int_{0}^{\frac{1}{3}}g(x)-f(x)dx= \int_{0}^{\frac{1}{3}}\sin\left(\frac{3}{2}\pi x\right)dx-\int_{0}^{\frac{1}{3}}|27 x^3|dx

 

Risolviamo il primo integrale:

 

\int_{0}^{\frac{1}{3}}\sin\left(\frac{3}{2}\pi x\right)dx

 

Integriamo per sostituzione ponendo t= \frac{3}{2}\pi x\implies dt= \frac{3}{2}\pi dx, da cui ricaviamo il differenziale della trasformazione inversa dx= \frac{2}{3\pi}dt. Gli estremi di integrazione diventano t_1= 0, t_2= \frac{1}{2}\pi e l'integrale si riscrive come:

 

\int_{0}^{\frac{\pi}{2}}\sin(t)\frac{2}{3\pi}dt=\frac{2}{3\pi}\left[-\cos(t)\right]_{0}^{\frac{\pi}{2}}= \frac{2}{3\pi}

 

Il secondo integrale è molto più semplice. Osserviamo innanzitutto che l'intervallo di integrazione è \left[0, \frac{1}{3}\right] e la funzione in questo intervallo coincide con f(x)= 27 x^3.

 

\int_{0}^{\frac{1}{3}}27 x^3dx= 27 \left[\frac{x^4}{4}\right]_{0}^{\frac{1}{3}}= \frac{1}{12}

 

Pertanto l'area di R è \mbox{Area}(R)= \frac{2}{3\pi}-\frac{1}{12}= \frac{8-\pi }{12\pi}.

 

Punto 4

 

Punto 4: la regione R, ruotando attorno all'asse X, genera il solido di rotazione S, e ruotando attorno all'asse Y, il solido T. Si scrivano spiegandone il perché, ma senza calcolarli, gli integrali definiti che forniscono i volumi S e T.

 

Svolgimento: il volume di S è dato da:

 

\mbox{Volume}(S)= \pi \int_{0}^{\frac{1}{3}}g^2(x)- f^2(x)dx

 

mentre il volume di T è dato da:

 

\mbox{Volume}(T)= 2\pi\int_0^{\frac{1}{3}}x(g(x)-f(x))dx (gusci cilindrici)

 

Volume dei solidi di rotazione nel primo problema dell'esame di Stato 2012

 

 

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