Soluzione esame di Stato PNI 2011 - problema 2

Occupiamoci del problema 2 della seconda prova dell'esame di Stato 2011 per il PNI (Piano Nazionale Informatica): vi presentiamo lo svolgimento della traccia punto per punto, e ad ogni passaggio che lo richiederà vi proporremo i link alle lezioni di teoria necessari per la risoluzione degli esercizi nel caso generale.

 

Testo del problema 2 dell'esame di Stato 2011 PNI

 

Per il progetto di una piscina, un architetto si ispira alle funzioni f e g definite, per tutti gli x reali da:

 

f(x)= x^3-16 x\mbox{ e }g(x)= \sin\left(\frac{\pi}{2} x\right)

 

1) Si studino le funzioni f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy. Si considerino i punti del grafico di g a tantente orizzontale la cui ascissa è compresa nell'intervallo [-10,10] e se ne indichino le coordinate.

 

2) L'architetto rappresenta la superficie libera dell'acqua nella piscina con la regione R delimitata dai grafici di f e di g sull'intervallo [0,4]. Si calcoli l'area R.

 

3) Ai bordi della piscina, nei punti di intersezione del contorno di R con le rette y= -15 e y= -5, l'architetto progetta di collocare i fari per illuminare la superficie dell'acqua. Si calcolino le ascisse di tali punti (è sufficiente un'approssimazione a meno di 10^{-1}).

 

4) In ogni punto di R a distanza x dall'asse y, la misura della profondità dell'acqua nella piscina è data da h(x)= 5-x. Quale sarà il volume d'acqua nella piscina? Quanti litri d'acqua saranno necessari per riempire la piscina se tutte le misure sono espresse in metri? 

 

Soluzione per punti del problema 2 - esame di Stato 2011 PNI

 

(Per comodità ricopieremo in ogni punto la parte corrispondente del testo).

 

Punto 1

 

Si studino le funzioni f e g e se ne disegnino i rispettivi grafici in un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy. Si considerino i punti del grafico di g a tantente orizzontale la cui ascissa è compresa nell'intervallo [-10,10] e se ne indichino le coordinate.

 

Svolgimento: cominciamo con lo studio di funzione di f(x)= x^3-16x. Salta subito all'occhio che è una funzione polinomiale e in quanto tale è definita e continua in tutto l'asse reale. Inoltre è una funzione dispari perché f(-x)= (-x)^3- 16(-x)= - x^3+16= -f(x). La funzione interseca sia l'asse x che l'asse y vediamo in quali punti.

 

Il punto di intersezione con l'asse  y è (0, f(0))=(0,0). I punti di intersezione con l'asse x sono dati dalla risoluzione del sistema:

 

\begin{cases}y= x^3-16x\\ y= 0\end{cases} che conduce all'equazione di terzo grado:

 

x^3-16x= 0

 

Non ci facciamo spaventare, l'equazione è facilmente risolvibile: basta mettere in evidenza x e utilizzare la legge di annullamento del prodotto, così da ottenere

 

x_0= 0, x_1= -4, x_2= 4

 

Il segno della funzione si ottiene determinando l'insieme soluzione della disequazione

 

f(x)\textgreater 0 cioè x^3-16 x\textgreater 0

 

ed ha per soluzione l'insieme S: -4\textless x\textless 0\vee x\textgreater 4.

 

Continuiamo lo studio di funzione con il calcolo dei limiti agli estremi dell'insieme di definizione:

 

\lim_{x\to -\infty}f(x)= -\infty\qquad \lim_{x\to +\infty}f(x)= +\infty

 

il perché è molto semplice, la funzione è una cubica e il suo comportamento all'infinito (con segno) viene influenzato esclusivamente dalla potenza maggiore. Ora tocca alla derivata prima: 

 

f'(x)= 3x^2- 16

 

Determiniamo gli zeri della derivata prima, essi saranno i candidati punti di massimo e di minimo relativi:

 

f'(x)= 3x^2- 16=0 da cui x= \pm \frac{4}{\sqrt{3}}

 

Studiamo il segno così da ottenere gli intervalli di monotonia e la natura dei punti estremanti.

 

f'(x)\textgreater 0 se e solo se 3x^2-16\textgreater 0

 

Risolvendo la disequazione pura otteniamo come soluzioni: x\textless -\frac{4}{\sqrt{3}}\vee x\textgreater \frac{4}{\sqrt{3}}. Ne deduciamo che la funzione f è:

 

- crescente in (-\infty, -4/\sqrt{3}) e in (4/\sqrt{3}, +\infty);

- decrescente in \left(-\frac{4}{\sqrt{3}}, \frac{4}{\sqrt{3}}\right).

 

Da ciò discende che M= \left(-\frac{4}{\sqrt{3}}, \frac{128}{3\sqrt{3}}\right) è un punto di massimo relativo, mentre m= \left(\frac{4}{\sqrt{3}}, -\frac{128}{3\sqrt{3}}\right) è un punto di minimo relativo.

 

Concludiamo lo studio di funzione con la derivata seconda la cui espressione è abbastanza semplice

 

f''(x)= 6x

 

Lo zero della derivata seconda è naturalmente x= 0, inoltre essa è positiva se e solo se x\textgreater 0. Possiamo asserire che la funzione f è concava per x minore di zero mentre è convessa per x maggiore di zero e dunque x= 0 è un punto di flesso. Questo conclude il primo studio di funzione.

 

Studiamo la seconda funzione: g(x)= \sin\left(\frac{\pi}{2} x\right). Essa è una funzione definita e continua su tutto l'asse reale,  inoltre è una funzione dispari e periodica di periodo T= \frac{2\pi}{\frac{\pi}{2}}= 4. Il punto di intersezione con l'asse y è (0, g(0))= (0, 0) mentre le ascisse  dei punti di intersezione con l'asse x sono dati dalla risoluzione dell'equazione:

 

\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)= 0

 

che conduce a \frac{\pi}{2}x= k\pi e quindi x= 2k\quad \forall k\in \mathbb{Z}.

 

La funzione g è positiva quando 4k\textless x\textless 4k+2 con k\in \mathbb{Z}

 

I limiti agli estremi non esistono perche la funzione seno è oscillante. Continuiamo con lo studio della derivata prima:

 

g'(x)=\frac{1}{2}\pi \cos\left(\frac{\pi}{2}x\right) che si annulla quando l'argomento è uguale a \frac{(2k+1)\pi}{2}

 

\frac{\pi}{2}x= \frac{(2k+1)\pi}{2} da cui x= 2k+1

 

Inoltre la derivata prima è positiva se e solo se 4k-1\textless x\textless 4k+1 con k intero. 

 

Possiamo asserire quindi che (4k-1, -1) è punto di minimo memtre (4k+1, 1) è punto di massimo. Per quanto riguarda i flessi possiamo notare che la derivata seconda è:

 

g''(x)= -\frac{1}{4}\pi \sin \left(\frac{\pi}{2}x\right) 

 

e suoi zeri coincidono con quelli della funzione di partenza, mentre il suo segno è opposto a quello di g (a causa del segno meno davanti all'espressione della derivata seconda.) In definitiva (2k,0) sono punti di flesso.

 

I punti del grafico di g a tangente orizzontale le cui ascisse vivono nell'intervallo [-10,10] sono:

 

\\ x= -9,\ x= -7,\ x= -5,\ x= -3,\ x= -1

 

x= 1,\ x= 3,\ x= 5,\ x= 7,\ x= 9

 

 

Grafici del punto 1 dell'esame di Stato PNI del 2011

 

 

Punto 2

 

L'architetto rappresenta la superficie libera dell'acqua nella piscina con la regione R delimitata dai grafici di f e di g sull'intervallo [0,4]. Si calcoli l'area R.

 

Soluzione: dobbiamo calcolare l'integrale

 

\mbox{Area}(R)= \int_{0}^{4}g(x)-f(x)dx= \int_{0}^{4}\sin\left(\frac{\pi}{4}x\right)- \left(x^3-16x\right)dx

 

= \left[-\frac{2}{\pi}\cos\left(\frac{\pi}{2}x\right)-\frac{x^4}{4}+8 x^2\right]_{0}^{4}=

 

\left[\left(-\frac{2}{\pi}- 64+ 128\right)-\left(-\frac{2}{\pi}\right)\right]= 64

 

Punto 3

 

Ai bordi della piscina, nei punti di intersezione del contorno di R con le rette y= -15 e y= -5, l'architetto progetta di collocare i fari per illuminare la superficie dell'acqua. Si calcolino le ascisse di tali punti (è sufficiente un'approssimazione a meno di 10^{-1}).

 

Svolgimento: poiché y= -15\textless -1 e y= -5\textless -1 allora le due rette intersecano esclusivamente la funzione f. Le ascisse richieste derivano dalla risoluzione delle equazioni:

 

f(x)= -15 e f(x)= -5

 

L'equazione x^3-16 x= -15 si risolve applicando la regola di Ruffini per scomporre il polinomio:

 

(x-1)(x^2+x-15)= 0

 

e per la legge di annullamento del prodotto troviamo le soluzioni x= 1 e x= \frac{1}{2}\left(-1\pm \sqrt{61}\right), ma solo i punti \left(1,-15\right) e \left(\frac{-1+\sqrt{61}}{2}, -15\right) si trovano sul bordo di R.

 

La seconda equazione f(x)= -5 conduce a x^3-16 x +5= 0 che è una equazione che non non risolvibile elementarmente. Dobbiamo ricorrere a dei metodi iterativi. Osserviamo che la funzione p(x)= x^3-16 x+5 è una funzione continua ed inoltre p(0)= 5\textless 0 p(1)=-10\textless 0. La funzione ammette almeno una soluzione nell'intervallo (0, 1) che possiamo determinare con i metodi iterativi, come ad esempio il metodo di Newton

 

Intersezioni nel punto 3 della seconda prova PNI di Maturità 2011

 

x_n p(x_n) p'(x_n) x_{n+1}
0 5 -16 0.31
0.31 0.03 -1570 0.31

 

Possiamo così asserire che una buona approssimazione è x_2=0.31. L'altra radice si trova invece nell'intervallo (3,4). Inneschiamo nuovamente Newton:

 

x_n p(x_n) p'(x_n) x_{n+1}
4 5 32 3.84
3.84 0.28 28.32 3.83

 

Possiamo prendere \tilde{x}= 3.83 perché è una buona approssimazione.

 

Punto 4

 

In ogni punto di R a distanza x dall'asse y, la misura della profondità dell'acqua nella piscina è data da h(x)= 5-x. Quale sarà il volume d'acqua nella piscina? Quanti litri d'acqua saranno necessari per riempire la piscina se tutte le misure sono espresse in metri? 

 

Svolgimento: sezionando la piscina con piani perpendicolari allo "specchio d'acqua" otterremo dei rettangoli aventi base g(x)- f(x) e altezza h(x). L'area di una sezione è A(x)= (g(x)-f(x))h(x) ed il volume è dato dall'integrale

 

\mbox{Volume}= \int_{0}^{4}(g(x)-f(x))h(x)dx=

 

= \int_{0}^{4}\left[\sin\left(\frac{\pi}{2}x\right)- x^3+16 x\right](5-x)dx= \frac{2752}{15}+\frac{8}{\pi}

 

di conseguenza la capacità della piscina, espressa in litri, è:

 

C= 186013, 14\mbox{ litri}

 

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