Quesiti seconda prova di Maturità 2011

Ciao ragazzi, vediamo come rispondere ai quesiti della seconda prova dell'esame di Maturità 2011. I quesiti sono tratti dalla traccia della Maturità per il liceo Scientifico tradizionale, e ogni passaggio che lo richiede è linkato alla lezione di teoria e al metodo di risoluzione dell'esercizio spiegato in generale.

 

Testi e risposte ai quesiti della seconda prova di Maturità 2011

 

1) Un serbatoio ha la stessa capacità del cilindro di massimo volume inscritto in una sfera di raggio 60 cm. Qual è la capacità massima in litri del serbatoio? 

 

1.R) Cominciamo con un disegno

 

Disegno del quesito 1 della traccia di Maturità 2011

 

Sia x= OH, per il teorema di Pitagora applicato al triangolo rettangolo con lati il raggio di base del cilindro, il segmento OH e la superficie della sfera possiamo scrivere che:

 

r= \sqrt{R^2-x^2} ed il volume del cilindro sarà:

 

V(x)= \pi r^2\cdot 2x= 2\pi (R^2-x^2)x

 

Per determinare il massimo, calcoliamo la derivata prima della funzione V

 

V'(x)= 2\pi (R^2-3x^2)

 

Essa si annulla se e solo se R^2-3x^2= 0 da cui x= \pm \sqrt{\frac{R^2}{3}}

 

La soluzione negativa va scartata per questioni geometriche. Il punto x= \sqrt{\frac{R^2}{3}} si candida come punto estremante, non ci rimane altro da fare che studiare il segno della derivata seconda così da comprendere la natura del punto stazionario.

 

Risolvendo la disequazione V'(x)\textgreater 0 arriveremo a 2\pi (R^2-3x^2)\textgreater 0 e quindi 0\textless x\textless \frac{R}{\sqrt{3}} (tenete a mente il vincolo geometrico x\textgreater 0 ).

 

Concludiamo che x= \frac{R}{\sqrt{3}} è punto di massimo e il massimo vale V\left(\frac{R}{\sqrt{3}}\right)= 0.5223\,\, m^3= 522, 3\,\, l.

 

 

2) Si trovi il punto della curva y= \sqrt{x} più vicino al punto Q(4,0).

 

2.R) Sia P(x, \sqrt{x}) un punto generico del grafico \Gamma_{y= \sqrt{x}}. Per la formula della distanza possiamo determinare la legge che ci fornisce la distanza PQ al variare di x:

 

f(x)= PQ= \sqrt{(x-4)^2+ x}= \sqrt{x^2+ 16 -8x +x}= \sqrt{x^2- 7 x+ 16}

 

Calcoliamo la derivata prima, utilizzando la regola di derivazione per le funzioni composte

 

f'(x)= \frac{2x-7}{2\sqrt{x^2-7x+16}}

 

Essa è nulla se e solo se il numeratore si annulla e questo avviene per 2x-7=0 cioè per x= \frac{7}{2}

 

Osserviamo inoltre che la derivata prima della funzione f è positiva se x\textgreater \frac{7}{2} ergo la funzione f cresce se x\textgreater \frac{7}{2} mentre decresce in 0\textless x\textless \frac{7}{2}. Questo ci permette di concludere che x= \frac{7}{2} è punto di minimo, la distanza minima è:

 

f\left(\frac{7}{2}\right)=\frac{\sqrt{15}}{2}

 

Il punto richiedo dall'esercizio è P\left(\frac{7}{2}, \sqrt{\frac{7}{2}}\right).

 

Distanza del punto dal grafico del quesito 2, tema di Maturità 2011

 

 

3) Sia R la regione delimitata dalla curva y= x^3, dall'asse x e dalla retta x= 2 e sia W il solido ottenuto dalla rotazione di R attorno all'asse y. Si calcoli il volume di W.

 

3.R) Il volume del solido di rotazione attorno all'asse y può essere calcolato con il metodo dei gusci cilindrici, utilizzando cioè la formula:

 

\mbox{Volume}(R)= 2\pi \int_{a}^{b}x f(x)dx

 

\mbox{Volume}(R)= 2\pi \int_{0}^{2}x\cdot x^3 dx= 2\pi \int_{0}^{2}x^4dx

 

L'ultimo integrale è elementare:

 

\mbox{Volume}(R)= 2\pi \left[\frac{x^5}{5}\right]_{0}^{2}= \frac{64}{5}\pi

 

Solido di rotazione del quesito 3, seconda prova di Maturità 2011

 

 

4) Il numero di combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è uguale al numero di combinazioni degli stessi oggetti a 3 a 3. Si trovi n.

 

4.R) Il numero di combinazioni di n oggetti a 4 a 4 è dato dal coefficiente binomiale:

 

\binom{n}{4}= \frac{n!}{4!(n-4)!}

 

mentre il numero di combinazioni di n oggetti a 3 a 3 è

 

\binom{n}{3}= \frac{n!}{3!(n-3)!}

 

Per rispondere al quesito dobbiamo solo risolvere l'equazione

 

\binom{n}{4}= \binom{n}{3} e cioè

 

\frac{n!}{4!(n-4)!}= \frac{n!}{3!(n-3)!}

 

Moltiplichiamo membro a membro per 3! (n-3)!

 

\frac{3! (n-3)!}{4! (n-4)!}= 1

 

Ora un passaggio delicato: è importante ricordare che (n-3)!= (n-3)(n-4)! e semplificando 

 

\frac{n-3}{4}= 1

 

da cui  n-3= 4  e quindi n= 7.

 

 

5) Si trovi l'area della regione delimitata dalla curva y= \cos(x) e dall'asse x, da x= 1 a x= 2 radianti.

 

5.R) Facciamo intervenire l'interpretazione geometrica dell'integrale, però stiamo attenti. La funzione non è sempre positiva nell'intervallo indicato dalla traccia e in particolare il coseno è negativo nell'intervallo \left(\frac{\pi}{2}, 2\right), a causa di ciò consideremo due integrali, il primo da 1 a pi greco mezzi e il secondo da pi greco a 2. In quest'ultimo dovremo cambiare di segno alla funzione integranda.

 

Area della regione del quesito 5, seconda prova di Maturità 2011

 

\int_{1}^{\frac{\pi}{2}}\cos(x)dx+ \int_{\frac{\pi}{2}}^{2}- \cos(x)dx= \left[\sin(x)\right]_{1}^{\frac{\pi}{2}}-\left[\sin(x)\right]_{\frac{\pi}{2}}^{2}= 2-\sin(1)- \sin(2)

 

 

6) Si calcoli il limite:

 

\lim_{x\to a}\frac{\tan(x)-\tan(a)}{x-a}

 

6.R) In realtà questo limite non è altro che il limite del rapporto incrementale della tangente centrato nel punto a, pertanto esso coincide con la derivata prima della tangente valutata nel punto a.

 

Ricordando che D\left[\tan(x)\right]= \frac{1}{\cos^2 (x)} allora:

 

\lim_{x\to a}\frac{\tan(x)-\tan(a)}{x-a}=\frac{1}{\cos^2(a)} con a\ne \frac{\pi}{2}+k\pi

 

 

7) Si provi che l'equazione x^{2011}+2011 x+12=0 ha la sola radice compresa tra -1  e 0.

 

7.R) Chiamiamo f(x)= x^{2011}+ 2011x+ 12= 0 essa è ovviamente una funzione continua perché polinomiale, inoltre f(-1)= -1-2011+12\textless 0 mentre f(0)= 12\textgreater 0. Il teorema dell'esistenza degli zeri ci assicura che esiste un x_0\in (-1,0) tale che f(x_0)= 0. Abbiamo solo dimostrato l'esistenza! Ci manca l'unicità e per arrivare al nostro obiettivo, calcoliamo la derivata prima della funzione che è:

 

f'(x)= 2011 x^{2010}+2011

 

La derivata prima è sempre positiva perché somma di quantità positive, questo ci dice che la funzione è monotona crescente, e in combo con la continuità abbiamo assicurata l'iniettività, e questa, in ultima analisi ci fornisce l'unicità della soluzione!

 

 

8) In che cosa consiste il problema della quadratura del cerchio? Perché è così citato? 

 

8.R) Quello della quadratura del cerchio è un problema classico della geometria ellenica. Ci si chiedeva se fosse possibile costruire un quadrato equivalente ad un cerchio con il solo uso di riga (non graduata) e compasso. Si scoprirà che cià è impossibile grazie agli studi di Lindemann legati alla trascendenza di \pi.

 

 

9) Si provi che nelo spazio ordinario a tre dimensioni, il luogo geometrico dei punti equidistanti dai tre vertici si un triangolo rettangolo è la retta perpendicolare al piano del triangolo passante per il punto medio dell'ipotenusa. 

 

9.R) Sia \pi il piano su cui giace il triangolo rettangolo ABC e M il punto medio dell'ipotenusa del triangolo rettangolo. Consideriamo la retta r passante per il punto medio M e perpendicolare al piano \pi

 

Vertici e triangolo nel quesito 9 della traccia di Maturità 2011

 

Prendiamo ora un quasiasi punto appartenente alla retta, chiamiamolo R, e costruiamo i segmenti AR, BR, CR, generando così due triangoli rettangoli aventi due lati congruenti, 

 

AM\simeq BM\simeq CM

 

ed il segmento in comune MR, necessariamente anche i terzi lati dei tre triangoli sono congruenti tra loro, cioè:

 

BR\simeq AR\simeq CR

 

e ciò dimostra che ogni punto della retta r è equidistante dai tre vertici del triangolo.

 

Sia ora R un punto per il quale si ha che RA= RB= RC. I triangoli BMR, CMR e RMA sono uguali. Poiché il triangolo BRC è un triangolo isoscele, la mediana RM è anche altezza quindi i triangoli RMB e RMC sono rettangoli di conseguenza è rettangolo anche il terzo triangolo. Questo dimostra che i punti equidistanti ai vertici nello spazio stanno sulla retta perpendicolare a M.

 

 

10) Nella figura a lato, denotati con I, II e III, sono disegnati i tre grafici. Uno di essi è il grafico di una funzione f, un altro lo è la funzione derivata f' e l'altro ancora la derivata seconda. Quale delle seguenti alternative identifica correttamente ciascuno dei tre grafici? 

 

Tabella e grafico del quesito 10 dell'esame di Maturità 2011

 

10.R) La risposta esatta è la D). Si noti infatti che gli zeri della funzione II coincidono con i punti di massimo e di minimo della funzione III. Infine il segno della I è coerente con gli intervalli di concavità e convessità della funzione III.

 

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