Soluzione esame di Stato 2011 - problema 2

Stai per leggere lo svolgimento del problema 2 dell'esame di Stato 2011, tratto dalla traccia della seconda prova di Maturità 2011 per il liceo Scientifico tradizionale. La soluzione è proposta per punti, e ogniqualvolta sia necessario troverai i link alle spiegazioni di teoria e ai metodi di risoluzione necessari per svolgere gli esercizi.

 

Traccia del problema 2 - Esame di Stato 2011

 

Sia f la funzione definita sull'insieme \mathbb{R} dei numeri reali da

 

f(x)= (ax+b)e^{-\frac{x}{3}}+3

 

dove a, b sono due numeri reali che si chiede di determinare sapendo che f ammette massimo nel punto di ascissa 4 e che f(0)=2.

 

1) Si provi che a= 1 e che b=-1.

 

2) Si studi la funzione f(x)= (x-1)e^{-\frac{x}{3}}+3 e se ne tracci il grafico \Gamma nel sistema di riferimento Oxy.

 

3) Si calcoli l'area della regione di piano del primo quadrante limitata da \Gamma, dall'asse y e dalla retta y=3.

 

4) Il profitto di una azienda, in milioni di euro, è stato rappresentato nella tabella sottostante designando con x_i, l'anno di osservazione con y_i il corrispondente profitto

 

 Anno   2004   2005   2006   2007   2008   2009   2010 
x_i 0 1 2 3 4 5 6
y_i 1,97 3,02 3,49 3,71 3,80 3,76 3,65

 

Si cerca una funzione che spieghi il fenomeno dell'andamento del profitto giudicando accettabile una funzione g definita su \mathbb{R}^+ se per ciascun x_i, oggetto dell'osservazione, si ha: |g(x_i)-y_{i}|\le 10^{-1}. Si verifichi, con l'aiuto di una calcolatrice che è accettabile la funzine f de punto 2 e si dica, giustificano la risposta, se è vero che, in tal caso, l'evoluzione del fenomeno non potrà mai portare a profitti inferiori ai 3 milioni di euro.

 

Svolgimento per punti del problema 2 - Esame di Stato 2011

 

(Per comodità ricopieremo in ogni punto la parte corrispondente del testo).

 

Punto 1

 

Si provi che a= 1 e b= -1.

 

Soluzione: sappiamo che x=4 è punto di massimo, di conseguenza la derivata prima in tale punto è zero, e questo ce lo assicura il teorema di Fermat, le cui ipotesi sono ovviamente soddisfatte. Otteniamo così una prima condizione che ci servirà in seguito a determinare le due costanti:

 

f'(4)= 0

 

Calcoliamo la derivata prima della funzione f utilizzando la formula di derivazione del prodotto:

 

f'(x)= -\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}}(ax-3a+b)

 

Valutiamola per x=4

 

f'(4)= -\frac{1}{3} e^{-\frac{4}{3}}(4 a -3a +b)= 0

 

da cui otteniamo la prima condizione a+b= 0.

 

Sappiamo poi che f(0)=2 e tale condizione si traduce in 3+b= 2. Mettendole a sistema potremo determinare le costanti

 

\begin{cases}a+b= 0\\ 3+b= 2\end{cases}\iff a= 1, b= -1

 

che è ciò che volevamo.

 

Punto 2

 

Si studi la funzione f(x)= (x-1)e^{-\frac{x}{3}}+3 e se ne tracci il grafico \Gamma nel sistema di riferimento O xy

 

Svolgimento: cominciamo con lo studio di funzione, e come al solito partiamo dal dominio che in questo caso è l'intero asse reale, perché la funzione è composizione di funzioni definite in \mathbb{R}.

 

Per quanto riguarda l'intersezione con l'asse y è sufficiente valutare la funzione in 0, così da ottenere il punto (0, f(0))= (0, 2).

 

Per le intersezioni con l'asse x invece dobbiamo risolvere l'equazione f(x)= 0, che però non si risolve elementarmente (possiamo saltare questo passaggio). Controlliamo invece i limiti agli estremi così da verificare l'esistenza di eventuali asintoti.

 

\lim_{x\to -\infty}(x-1)e^{-\frac{x}{3}}+3= [-\infty\cdot +\infty]= -\infty

 

mentre

 

\lim_{x\to + \infty}(x-1)e^{-\frac{x}{3}}+3= 3

 

da qui comprendiamo che la retta y= 3 è asintoto orizzontale per la funzione. Passiamo allo studio della derivata prima:

 

f'(x)= -\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}}(x-4)

 

i cui zeri si ottengono risolvendo l'equazione f'(x)= 0 da cui x-4= 0 e quindi x= 4. Abbiamo determinato un candidato punto estremale. Controlliamone la natura studiando il segno della derivata prima: f'(x)\textgreater 0 se e solo se -\frac{1}{3}e^{-\frac{x}{3}}(x-4)\textgreater 0 e ciò conduce all'insieme  x\textless 4. Per x\textgreater 4 la derivata prima è negativa. 

 

In definitiva x=4 è un punto di massimo assoluto ed il massimo è f(4)= 3+\frac{3}{e^\frac{4}{3}}}. Continuiamo con lo studio di funzione, esaminando la derivata seconda così da determinare gli intervalli di concavità e convessità. L'espressione della derivata seconda è

 

f''(x)= \frac{1}{9}e^{-\frac{x}{3}}(x-7)

 

essa si annulla se e solo se il fattore x-7= 0, gli altiri infatti non possono annullarsi. Otteniamo come candidato punto di flesso: x= 7, infatti per x\textless 7 la derivata seconda è negativa, e dunque la funzione f è concava, mentre per x\textgreater 7 la derivata seconda è positiva quindi la funzione f è convessa. 

 

Lo studio di funzione è completo ed è possibile tracciare un grafico qualitativo. 

 

Grafico della funzione del problema 2 dell'esame di Stato 2011

 

Punto 3

 

Si calcoli l'area della regione di piano del primo quadrante delimitata da \Gamma dall'asse y e dalla retta y=3

 

Soluzione: per rispondere a questo punto, dobbiamo determinare i punti di intersezione tra il grafico e la retta e ciò equivale a risolvere il sistema:

 

\begin{cases}y= (x-1)e^{-\frac{x}{3}}+3\\ y= 3\end{cases}

 

e procedendo per sostituzione si arriva all'equazione (x-1)e^{-\frac{x}{3}}+3= 3, che è equivalente all'equazione (x-1)e^{-\frac{x}{3}}= 0.

 

Area delle regioni piane nel problema 2 dell'esame di Stato 2011

 

Notiamo inoltre che per 0\textless x\textless 1  il grafico della funzione ha una quota minore rispetto alla retta y= 3, mentre nell'insieme (1, +\infty) è la funzione a sovrastare la retta. Otteniamo quindi due porzioni di piano le cui aree sono date dagli integrali:

 

\mbox{Area}_1= \int_{0}^{1}3-f(x)dx= \int_{0}^{1}-(x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx=-\int_{0}^{1}(x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx

 

Integriamo per parti e prendiamo come fattore finito (x-1) e come fattore differenziale e^{-\frac{x}{3}}. Così facendo si giunge a

 

\mbox{Area}_1= -\int_{0}^{1}(x-1)e^{-\frac{x}{3}}dx=9e^{-\frac{1}{3}}-6

 

Calcoliamo l'area della seconda regione di piano. Essa è determinata dalla risoluzione dell'integrale improprio:

 

\mbox{Area}_2= \int_{1}^{\infty}f(x)-3=\int_{1}^{\infty}e^{-\frac{x}{3}}(x-1)dx

 

Per definizione di integrale improprio di prima specie

 

\int_{1}^{\infty}e^{-\frac{x}{3}}(x-1)dx= \lim_{M\to \infty}\int_{1}^{M}e^{-\frac{x}{3}}(x-1)dx=

 

Risolviamo l'integrale per parti scegliendo come fattore finito (x-1) e come fattore differenziale e^{-\frac{x}{3}}, così da poter scrivere

 

\lim_{M\to \infty}\left[e^{-\frac{x}{3}}(-3x -6)\right]_{1}^{M}= 9 e^{-\frac{1}{3}}

 

Sommiamo i due contributi

 

\mbox{Area}_{1}+\mbox{Area}_{2}= 9 e^{-\frac{1}{3}}- 6 + 9 e^{-\frac{1}{3}}=18 e^{-\frac{1}{3}}-6

 

Punto 4

 

Il profitto di una azienda, in milioni di euro, è stato rappresentato nella tabella sottostante designando con x_i, l'anno di osservazione con y_i il corrispondente profitto

 

 Anno   2004   2005   2006   2007   2008   2009   2010 
x_i 0 1 2 3 4 5 6
y_i 1,97 3,02 3,49 3,71 3,80 3,76 3,65

 

 

Si cerca una funzione che spieghi il fenomeno dell'andamento del profitto giudicando accettabile una funzione g definita su \mathbb{R}^+ se per ciascun x_i, oggetto dell'osservazione, si ha: |g(x_i)-y_{i}|\le 10^{-1}. Si verifichi, con l'aiuto di una calcolatrice che è accettabile la funzione f del punto 2 e si dica, giustificano la risposta, se è vero che, in tal caso, l'evoluzione del fenomeno non potrà mai portare a profitti inferiori ai 3 milioni di euro.

 

Svolgimento: con l'aiuto della calcolatrice valutiamo le differenze |f(x_i)- y_i| per ogni i= 0,.., 6; ci accorgeremo che essi sono minori o al più uguali a 10^{-1}, ovvero la funzione f soddisfa la condizione richiesta. 

 

Circa la richiesta sull’evoluzione futura del profitto ossia che questo non potrà essere inferiore negli anni successivi ai 3 milioni di euro, la risposta potrebbe sembrare veritiera se si considera l’andamento della funzione f. Se però consideriamo l’approssimazione con la quale è nota la funzione:

 

|f(x_i) - 3| < 0,1



si ha:

 

3 - 0, 1 \ \textless \ f(x_i) \ \textless \ 3 + 0,1 \ \to \  2,9 \textless f(x_i) \textless 3,1


Quindi per x_i \textgreater 6 non è certo che si abbia f(x_i) \textgreater 3 ma solo che f(x_i) \textgreater 2,9.


Non si può allora essere sicuri che in futuro il profitto sia maggiore di 3 milioni di euro, da cui la falsità dell'asserto.

 

Dubbi? Problemi? Qui su YM ci sono migliaia e migliaia di esercizi svolti e problemi risolti su YM, puoi trovare tutte le risposte che ti servono con la nostra barra di ricerca.

 

 

Indietro..........Su..........Avanti


Tags: soluzione del problema 2, traccia della seconda prova dell'esame di Stato 2012 per il liceo Scientifico tradizionale - secondo problema del tema di Maturità 2011.