Soluzione esame di Maturità 2011- problema 1

Ciao! Qui trovate lo svolgimento del problema 1 dell'esame di Maturità del 2011, riguardante la traccia di Maturità per il liceo Scientifico tradizionale. Vi proponiamo la risoluzione per punti, ed ogni passaggio che lo richiede è collegato alla teoria e ai metodi per svolgere gli esercizi spiegati in generale.

 

Testo del problema 1 dell'esame di Maturità 2011

 

Si considerino le funzioni f e g definite, per tutti gli x reali, da:

 

f(x)= x^3- 4x\mbox{ e }g(x)= \sin(\pi x)

 

1) Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy, si studino f\mbox{ e }g e se ne disegnino i rispettivi grafici G_f e G_g.

 

2) Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di G_f con la retta y= -3. Successivamente, si considerino i punti di G_g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell'intervallo [-6, 6] e se ne indichino le coordinate.

 

3) Sia R la regione del piano delimitata da G_f e G_g sull'intervallo [0, 2]. Si calcoli l'area di R.

 

4) La regione R rappresenta la superficie libera dall'acqua contenuta in una vasca. In ogni punto di R a distanza x dall'asse y la misura della profondità dell'acqua nella vasca è data da h(x)= 3-x. Quale integrale definito dà il volume dell'acqua? Supposte le misure in metri, quanti litri di acqua contiene la vasca? 

 

Svolgimento per punti del problema 1 - Esame di Maturità 2011

 

(Per comodità ricopieremo in ogni punto la parte corrispondente del testo).

 

Punto 1

 

Fissato un conveniente sistema di riferimento cartesiano Oxy, si studino f\mbox{ e }g e se ne disegnino i rispettivi grafici G_f e G_g.

 

Svolgimento: cominciamo a studiare la funzione f(x)= x^3-4x. Il dominio è ovviamente l'asse reale perché la funzione è di tipo polinomiale. Per quanto riguarda la disparità e la parità della funzione possiamo asserire che è dispari perché somma di funzioni dispari. Passiamo alle interserzioni con l'asse x che si determinano risolvendo l'equazione:

 

f(x)= 0 cioè x^3- 4 x= 0

 

Fattorizzando il polinomio al primo membro scriveremo x(x^2-4)=0, e per la celeberrima legge di annullamento del prodotto ci dice che le soluzioni sono x_1= 0, x_2= -2, x_3= 2. I punti di intersezione sono di conseguenza O(0,0), A(-2,0) e B(2,0)

 

Naturalmente l'intersezione con l'asse y è già stata determinata ed è O(0,0).

 

Il segno della funzione è abbastanza mansueto, dobbiamo risolvere la disequazione f(x)\textgreater 0 che conduce all'insieme soluzione -2\textless x\textless 0\vee x\textgreater 2. In x\textless -2\vee 0\textless x\textless 2 la funzione è negativa.

 

Studiamo la derivata prima: trattandosi di una funzione polinomiale, non dovremmo avere problemi a derivarla. L'espressione della derivata prima è:

 

f'(x)= 3x^2-4

 

Continuiamo con lo studio di funzione determinando gli zeri della derivata prima i quali ci forniscono i candidati punti estremali associati alla funzione f. f'(x)=0 ci porta alla risoluzione della equazione 3x^2-4= 0, cioè un'equazione di secondo grado pura le cui soluzioni sono x_1= -\frac{2}{3}\sqrt{3}, x_2= \frac{2}{3}\sqrt{3}

 

Non ci rimane che controllare la natura dei punti stazionari appena determinati, con lo studio del segno della derivata prima.

 

f'(x)\textgreater 0 e cioè  3x^2-4\textgreater 0, da cui si arriva alla soluzione x\textless -\frac{2}{\sqrt{3}}\vee x\textgreater \frac{2}{\sqrt{3}}. Tabulando i segni della derivata prima e quindi gli intervalli di monotonia concluderemo che la funzione è:

 

- crescente in \left(-\infty, -\frac{2}{\sqrt{3}}\right) o \left(\frac{2}{\sqrt{3}}, +\infty\right);

 

- decrescente \left(-\frac{2}{\sqrt{3}}, \frac{2}{\sqrt{3}}\right) e i punti x= -\frac{2}{\sqrt{3}} è punto di massimo e x= \frac{2}{\sqrt{3}} è punto di massimo relativo.

 

Infine lo studio della derivata seconda, alquanto facile nella sua espressione:

 

f''(x)= 6x

 

Essa si annulla per x= 0 ed è positiva per x>0 mentre è negativa per x<0. La funzione f è di conseguenza covessa per x>0 mentre è concava per x<0, x= 0 è punto di flesso.

 

Occupiamoci della seconda funzione g(x)= \sin(\pi x). Essa è una funzione periodica di periodo T= \frac{2\pi}{\pi}= 2, ci limiteremo pertanto a studiarla nell'intervallo I= [0,2] ed in seguito la prolungheremo con periodicità. Il dominio è \mathbb{R}. Determiniamo gli zeri della funzione nell'intervallo I

 

\sin(\pi x)= 0\iff x= 0\vee x= 1 \vee x= 2

 

La funzione inoltre è positiva per  (0, 1) mentre è negativa in (1,2)

 

La derivata prima si determina con la regola di derivazione per le funzioni composte:

 

g'(x)= \pi \cos(\pi x)

 

ed è uguale a zero quando x= \frac{1}{2}\vee x= \frac{3}{2}, che si candidano come punti stazionari della funzione. Studiando il segno della derivata prima capiremo la natura dei punti estremanti: \pi \cos(\pi x)\textgreater 0 se e solo se 0\textless x\textless \frac{1}{2}\vee \frac{3}{2}\textless x\textless 2 mentre è negativa in \left(\frac{1}{2}, \frac{3}{2}\right). Dunque x= \frac{1}{2} è punto di massimo, x= \frac{3}{2} è punto di minimo. 

 

Passiamo allo studio della derivata seconda, che ha per espressione g''(x)= -\pi^2\sin(\pi x) e che si ottiene ancora una volta per derivazione per le funzioni composte. Gli zeri di tale funzione coincidono ovviamente con gli zeri della funzione di partenza, mentre il segno è opposto a quello di g(x).

 

In definitiva possiamo concludere che la funzione è concava in (0,1) convessa in (1,2). (1, 0) è un punto di flesso.

 

Grafici del punto 1, problema 1 del tema di Maturità 2011

 

Punto 2

 

Si calcolino le ascisse dei punti di intersezione di G_f con la retta y= -3. Successivamente si considerino i punti di G_g a tangente orizzontale la cui ascissa è compresa nell'intervallo [-6, 6].

 

Soluzione: dobbiamo risolvere l'equazione x^3-4x= -3 che in forma normale diventa x^3-4x+3= 0. Scomponiamo il polinomio al primo membro con la regola di Ruffini

 

x^3-4x+3= (x-1)(x^2+x-3)

 

per cui l'equazione diventa (x-1)(x^2+x-3)= 0 e per la legge di annullamento del prodotto otterremo le tre soluzioni x=1, data dall'equazione x-1= 0 e x_{1,2}= \frac{-1\pm \sqrt{13}}{2}, che sono le soluzioni associate all'equazione x^2+x-3= 0.

 

I punti a tangente orizzontale sono del tipo x_{n}= \frac{2n+1}{2} con n=-6,..., 5 e i valori associati valgono -1 e 1.

 

Punto 3

 

Sia R la regione del piano delimitata da G_f e G_g sull'intervallo [0,2]. Si calcoli l'area di R. 

 

Svolgimento: grazie all'interpretazione geometrica dell'integrale e dal grafico che abbiamo determinato nel punto 1, sappiamo che l'area di R

 

Area della regione piana del punto 3, problema 1 Maturità 2011

 

è data dall'integrale:

 

\mbox{Area}(R)= \int_{0}^{2}\sin(\pi x)- (x^3-4x)dx 

 

e per la linearità dell'operatore integrale

 

\int_{0}^{2}\sin(\pi x )dx - \int_{0}^{2}x^3-4x dx= 4

 

Punto 4

 

La regione R rappresenta la superficie libera dell'acqua contenuta in una vasca. In ogni punto di R a distanza x dall'asse y la misura della profondità dell'acqua è data da h(x)=3-x. Quale integrale definito à il volume? Supposte le misure in metri, quanti litri d'acqua contiene la vasca? 

 

Risposta: dobbiamo fare uno sforzo di immaginazione e vedere la vasca come infiniti rettangoli perpendicolari ad R che hanno l'altezza h(x) e base g(x)-f(x).

 

Regione R del punto 4, problema 1 dell'esame di Maturità 2011

 

L'area di un singolo rettangolo è (g(x)-f(x))h(x). L'integrale che dà il volume è:

 

V= \int_{0}^{2}(\sin(\pi x)- x^3+4x)(3-x)dx= \frac{116}{15}+\frac{2}{\pi } m^3\simeq 8370 l

 

Per eventuali dubbi o problemi sappi che qui su YM hai a disposizione tutto quello che ti serve: ci sono migliaia di esercizi risolti e spiegati dallo Staff, e pouoi trovare tutto quello che ti serve con la nostra barra di ricerca.

 

 

Indietro..........Su..........Avanti


Tags: svolgimento del primo problema dell'esame di Stato 2011 del liceo Scientifico tradizionale - soluzione del problema 1 della traccia della seconda prova dell'esame di Maturità 2011.