Quesiti della seconda prova di Maturità 2010 PNI

Per concludere in bellezza la parte relativa alla seconda prova di Maturità 2010, proponiamo le soluzioni ai dieci quesiti del tema d'esame del PNI - Piano Nazionale Informatica. Ogni risposta è spiegata dettagliatamente e, ove necessario, collegata al metodo di svolgimento dell'esercizio nel caso generale.

 

Risposte ai quesiti della seconda prova PNI di Maturità 2010

 

1) Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è p^{(n)}(x)= n! a_n dove a_n è il coefficiente di x^{n}

 

1.R) Scriviamo il polinomio di grado n 

 

p(x)= a_n x^n+ a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+ a_0

 

derivando il polinomio n volte tutti i monomi di grado inferiore ad n si annullano mentre il monomio di grado n ha questo comportamento:

 

D[a_n x^n]= n a_n x^{n-1}

 

D[D[a_n x^{n}]]= n (n-1) a_nx^{n-2}

 

D[D[D[a_n x^{n}]]]= n(n-1)(n-2)a_n x^{n-3}

 

derivando n volte otteniamo

 

D_{(n)}[a_n x^{n}]= n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots (n-n+1) a_n x^{n-n}= n!a_n

 

 

2) Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo e P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangolo PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli. 

 

2.R) r è perpendicolare al piano \pi contenente il triangolo ABC, dunque r è perpendicolare a BC e ad AB, questa informazione ci permette di asserire che ABP e BCP sono triangoli rettangoli e per il teorema delle 3 perpendicolari anche APC è rettangolo ed è quello che volevamo mostrare.

 

 

3) Sia r la retta d'equazione y= a x tangente al grafico di y= e^x. Qual è la misura in gradi primi sessagesimali dell'angolo che la retta r forma con l'asse positiva delle ascisse? 

 

3.R) Fissato un punto del grafico y= e^x, di coordinate generiche (z, e^{z}), la retta tangente al grafico ha equazione:

 

y= e^{z}(x-z)+e^{z}

 

uguagliando con la retta in nostro possesso 

 

e^{t}(x-t)+e^{t}= ax

 

e utilizzando il principio di identità dei polinomi potremo costruire il sistema

 

\begin{cases}e^{t} = a\\ (1-t)e^{t}= 0\end{cases}

 

dalla seconda equazione abbiamo che t= 1, e sostituendo nella prima otteniamo a= e. L'angolo cercato è dato dall'equazione \tan(\alpha)= e e dunque:

 

\alpha= \arctan(e)= 69, 80^{o}= 69^{o}48'

 

 

4) Si calcoli con la precisione di due cifre decimali lo zero della funzione f(x)= \sqrt[3]{x}+ x^3-1. Come si può essere certi che esiste un unico zero? 

 

4.R) In sostanza l'esercizio ci sta chiedendo di determinare una approssimazione della soluzione (ancora non sappiamo se è unica) associata all'equazione

 

\sqrt[3]{x}+x^3-1= 0.

 

Prima di partire con il metodo iterativo dobbiamo partire con il dimostrare l'esistenza e l'unicità della soluzione. L'esistenza è assicurata dal corollario sul teorema degli zeri. Notiamo infatti che la funzione è continua in tutto l'asse reale, ed i limiti agli estremi del dominio sono:

 

\lim_{x\to -\infty}\sqrt[3]{x}+x^3-1= -\infty\qquad \lim_{x\to +\infty}\sqrt[3]{x}+ x^3-1= +\infty

 

esiste quindi x_0\in \mathbb{R} tale che f(x_0)= 0. Per l'unicità mostreremo che la funzione è monotona crescente, studiando il segno della sua derivata prima:

 

f'(x)= \frac{1}{3x^{\frac{2}{3}}}+3x^2

 

La derivata prima della funzione è positiva sia in (-\infty, 0) che in (0,+\infty), quindi la funzione è monotona crescente sia in  (-\infty, 0) che in (0,+\infty).

 

Abbiamo provato l'unicità della soluzione. Osserviamo ora che f\left(\frac{1}{2}\right)\simeq-0.081\textless 0 mentre f(1)= 1\textgreater 0. Per il teorema di Bolzano avremo che esiste x_0\in (1/2,1 ) che soddisfa le richieste dell'esercizio. Inneschiamo il metodo di bisezione prendendo come intervallo di riferimento \left[\frac{1}{2}, 1\right].

 

La funzione valutata per x= \frac{\frac{1}{2}+1}{2}= \frac{3}{4} vale f\left(\frac{3}{4}\right)= 0.33\textgreater 0

 

Il secondo intervallo da prendere in considerazione è \left[\frac{1}{2}, \frac{3}{4}\right]. Il punto medio di questo intervallo è \frac{\frac{1}{2}+ \frac{3}{4}}{2}= \frac{5}{8} e la funzione valutata in questo punto vale:

 

f\left(\frac{5}{8}\right)=0.099 \textgreater 0

 

Ottimo! Possiamo proseguire prendendo come intervallo di riferimento \left[\frac{1}{2}, \frac{5}{8}\right] il cui punto medio è \frac{\frac{5}{8}+ \frac{1}{2}}{2}=\frac{9}{16} ed inoltre:

 

f\left(\frac{9}{16}\right)=0.0034

 

Abbiamo trovato l'approssimazione che ci serviva ed è x= 0.56.

 

 

5) Sia G il grafico di una funzione x\to f(x) con x\in\mathbb{R}. Si illustri in che modo è possibile stabilire se G è simmetrico rispetto alla retta x= k

 

5.R) Effettuiamo la trasformazione di coordinate

 

\begin{cases}X'= x-k\\ Y'=y\end{cases} e verificare che f(-X')= f(X')

 

oppure, una funzione è simmetrica rispetto ad una retta x= k se e solo se f(x)= f(2k-x).

 

 

6) Si trovi l'equazione cartesiana del luogo geometrico descritto al punto P di coordinate (3\cos(t), 2\sin(t)) al variare di t, 0\le t\le 2\pi

 

6.R) Dall'esercizio abbiamo che

 

\begin{cases}x= 3\cos(t)\\ y= 2\sin(t)\end{cases}

 

Dividiamo membro a membro per 3 la prima equazione e per 2 la seconda equazione

 

\begin{cases}\frac{x}{3}= \cos(t)\\ \frac{y}{2}= \sin(t)\end{cases}

 

di conseguenza

 

\left(\frac{x}{3}\right)^2+ \left(\frac{y}{2}\right)^2= \cos^2(t)+\sin^2(t)= 1

 

dove abbiamo fatto intervenire la relazione fondamentale della trigonometria. Otterremo l'equazione

 

\frac{x^2}{9}+ \frac{y^2}{4}= 1

 

che nel piano rappresenta un'ellisse con semiassi a= 3 e b= 2 e centro (0,0).

 

 

7) Per la ricorrenza della festa della mamma la signora Luisa organizza una cena a casa sua, con le sue amiche che hanno almeno una figlia femmina. Durante la cena, la signora Anna dichiara di avere esattamente due figli. Si chiede: qual è la probabilità che anche l'altro figlio della signora Anna sia femmina? 

 

7.R) Poiché la signora Anna è stata invitata alla festa allora sicuramente avrà almeno una figlia femmina e le possibili coppie saranno

 

\mbox{Femmina}\,\, \mbox{Femmina}

\mbox{Femmina}\,\, \mbox{Maschio}

\mbox{Maschio}\,\, \mbox{Femmina}

 

La probabilità è \frac{1}{3}.

 

 

8) Se n\textgreater 3 e \binom{n}{n-1},\, \binom{n}{n-2},\,\, \binom{n}{n-3} sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n? 

 

8.R) Poiché i tre coefficienti sono in progressione aritmentica allora la differenza tra due elementi consecutivi è costante

 

\binom{n}{n-3}-\binom{n}{n-2}= \binom{n}{n-2}- \binom{n}{n-1}

 

ricordando che

 

\binom{n}{k}= \frac{n!}{k! (n-k)!}

 

allora l'equazione impostata precedentemente diventa

 

\frac{n(n-1)(n-2)}{6}-\frac{n(n-1)}{2}= \frac{n(n-1)}{2}- n

 

riportando in forma normale l'equazione

 

\frac{(n-7)(n-2)n}{6}=0

 

per la legge di annullamento del prodotto, le soluzioni dell'equazione sono

 

n= 0\vee n=2\vee n=7

 

ma solo l'ultima è accettabile perché rispetta la pretesa che n\textgreater 3.

 

 

9) Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB= 3, AC= 2 e l'angolo ABC= 45 gradi. Si provi altresì che se AB=3, AC=2 e l'angolo ABC= 30 gradi, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni.

 

9.R) Supponiamo che sia possibile costruire un triangolo con le caratteristiche date dalla traccia: AB= 3, AC= 2 e l'angolo ABC= 45 gradi. Per il teorema dei seni abbiamo:

 

\frac{2}{\sin(45^o)}= \frac{3}{\sin(\gamma)}

 

da cui \sin(\gamma)= \frac{3}{2}\sin(45^o)= \frac{3}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\simeq 1.06

 

abbiamo raggiunto l'assurdo perché il seno di \gamma deve necessariamente essere una quantità compresa tra -1 e 1, non può essere certo 1.06. Se invece l'angolo ABC= 30^{o} allora sempre per il teorema dei seni

 

\frac{2}{\sin(30^{o})}= \frac{3}{\sin(\gamma)}

 

da cui il seno di \gamma è \sin(\gamma)= \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{4}, e quindi \gamma= \arcsin\left(\frac{3}{4}\right)\vee \gamma= \pi -\arcsin\left(\frac{4}{3}\right). Ognuno dei valori che abbiamo determinato possiamo costruire il triangolo con le richieste della traccia (abbiamo quindi due triangoli).

 

 

10) Si consideri la regione R delimitata da y= \sqrt{x} dall'asse x e dalla retta x= 4. L'integrale \int_{0}^{4}2\pi x \sqrt{x}dx fornisce il volume del solido:

 

a) generato da R nella rotazione intorno all'asse x;

b) generato da R nella rotazione intorno all'asse y;

c) di base R le cui sezioni con piani perpendicolari all'asse x sono semicerchi di raggio \sqrt{x};

d) nessuno di questi. 

 

Si motivi esaurientemente la risposta. 

 

10.R) La risposta esatta è la b) ed è la formula che proviene dal metodo dei gusci cilindrici (vedi le formule per il volume dei solidi di rotazione).

 

 

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