Svolgimento esame di Maturità PNI 2010 - problema 1

Qui di seguito trovi lo svolgimento del problema 1 tratto dalla seconda prova PNI dell'esame di Maturità 2010. Ogni passaggio che lo richiede è linkato alla lezione di teoria e al metodo di risoluzione dell'esercizio nel caso generale; seguendo le frecce che trovi in fondo puoi passare alla soluzione del problema 2 e ai quesiti.

 

Traccia del problema 1 - Esame di Maturità PNI 2010

 

Nella figura che segue è riportato il grafico di g(x) per -2\le x \le 5 essendo g la derivata di una funzione f. Il grafico conste di tre semicirconferenze con centri in (0,0), (3,0), \left(\frac{9}{2},0\right) e raggi rispettivi  2, 1, \frac{1}{2}.

 

Punto 1 del primo problema PNI della seconda prova 2010

1) Si scriva un'espressione analitica di g(x). Vi sono punti in cui g(x) non è derivabile? Se sì, quali sono? E perché? 

 

2) Per quali valori di x, -2\textless x\textless 5, la funzione f presenta un massimo o un minimo relativo? Si illustri il ragionamento seguito.

 

3) Se f(x)= \int_{-2}^{x}g(t)dt, si determini f(4) e f(1).

 

4) Si determinino i punti in cui la funzione f ha derivata seconda nulla. Cosa si può dire sul segno di f(x)? Qual è l'andamento qualitativo di f(x)

 

Svolgimento del problema 1 della seconda prova PNI - Maturità 2010

 

(Per comodità ricopieremo in ogni punto la parte corrispondente del testo).

 

Punto 1

 

Si scriva un'espressione analitica di g(x). Vi sono punti in cui g(x) non è derivabile? Se sì, quali sono? E perché?

 

Svolgimento: per determinare una espressione analitica di g scriviamo le tre equazioni delle circonferenze di cui conosciamo il centro e il raggio.

 

\gamma_1: x^2+y^2= 4 esplicitando rispetto ad y y= \sqrt{4-x^2} con x\in [-2,2]

 

\gamma_2: (x-3)^2+y^2= 1 esplicitando rispetto ad y y= -\sqrt{1-(x-3)^2} con x\in [2,4]

 

ed infine

 

\gamma_3: \left(x-\frac{9}{2}\right)^2+y^2= \frac{1}{4} esplicitando rispetto ad y y= \sqrt{\frac{1}{4}-\left(x-\frac{9}{2}\right)^2} con x\in [4,5]

 

In definitiva otteniamo

 

g(x)= \begin{cases}\sqrt{4-x^2}&\mbox{ se }-2\le x\le 2\\- \sqrt{1- (x-3)^2}&\mbox{ se }2\le x\le 4\\\sqrt{\frac{1}{4}- \left(x-\frac{9}{2}\right)^2}&\mbox{ se }x\in 4\le x\le 5 \end{cases}.

 

La funzione non è derivabile nei punti x= -2, x= 2, x=4, x= 5 perché la retta tangente al grafico in tali punti è parallela all'asse y, ciò vuol dire che il coefficiente angolare, in valore assoluto,   è infinito e questo assicura che il limite del rapporto incrementale non è finito.

 

Punto 2

 

Per quali valori di x, -2\textless x\textless 5, la funzione f presenta un massimo o un minimo relativo? Si illustri il ragionamento seguito.

 

Risoluzione: la funzione g(x) è continua e quindi per il teorema fondamentale del calcolo integrale la funzione f è derivabile. Inoltre dal grafico della funzione g riusciamo a estrapolare le seguenti informazioni:

 

g(x)\textgreater 0 se  e solo se -2\textless x\textless 2 oppure 4\textless x\textless 5

 

g(x)= 0 se e solo se x= 2\vee x= 4

 

g(x)\textless 0 se  e solo se 2\textless x\textless 4

 

Sottolineamo che i punti x= -2 e x= 5 sono da escludere perché perché non vivono nell'intervallo (-2,5). Lo studio del segno della derivata prima ci permette di asserire che x= 2 è punto di massimo relativo per la funzione f e x= 4 è punto di minimo relativo.

 

Punto 3

 

Se f(x)= \int_{-2}^{x}g(t)dt, si determini f(4) e f(1).

 

Soluzione: utilizzando l'interpretazione geometrica dell'integrale

 

f(4)= \int_{-2}^{4}f(x)= \frac{\mbox{Area}(\gamma_1)}{2}- \frac{\mbox{Area}(\gamma_2)}{2}

 

dove \mbox{Area}(\gamma_1)= 4\pi è l'area del cerchio di raggio 2, \mbox{Area}(\gamma_2)= \pi è l'area del cerchio di raggio 1. Abbiamo inoltre diviso ciascun'area per due perché dobbiamo prendere in considerazione metà cerchio!

 

Punto 3 del primo problema PNI della seconda prova 2010

 

In definitiva

 

f(4)= \int_{-2}^{4}f(x)= 2\pi-\frac{\pi}{2}=\frac{3}{2}\pi

 

Per calcolare f(1) invece dobbiamo far ricorso al calcolo integrale:

 

f(1)= \int_{-2}^{1}\sqrt{4-x^2}dx= \frac{\sqrt{3}}{2}+ \frac{4}{3}\pi

 

Punto 4

 

Si determinino i punti in cui la funzione f ha derivata seconda nulla. Cosa si può dire sul segno di f(x)? Qual è l'andamento qualitativo di f(x)

 

Risposta: la derivata seconda di f coincide con la derivata prima della funzione g, g'(x). Quest'ultima si annulla quando g raggiunge i suoi massimi e minimi relativi. Dal grafico possiamo comprendere che g'(x)= 0 se e solo se x= 0\vee x= 3\vee x= \frac{9}{2}

 

Sappiamo inoltre che f(-2)= \int_{-2}^{-2}g(x)dx= 0 quindi la funzione è positiva, al più nulla perché per -2\textless x\textless 2 f cresce dopodiché decresce in (2,4) e poi ricresce nell'intervallo (4,5) con minimo relativo in x= 4 ed il minimo relativo è f(4)= \frac{3}{2}\pi, valore determinato nel punto precedente.

 

La funzione f è convessa negli intervalli in cui g(x) è crescente, cioè in (-2,0)\cup (3, 9/2), è concava quando g(x) decresce, cioè in (0, 3)\cup (9/2, 5).

 

Queste informazioni ci permettono di costruire il grafico della funzione.

 

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