Quesiti seconda prova di Maturità 2010

Tutti i dieci quesiti della seconda prova di Matematica dell'esame di Maturità 2010, con le relative soluzioni: ogni passaggio che lo richiede presenta il link alla corrispondente lezione di teoria e al metodo di risoluzione dell'esercizio in generale. Buona lettura!

 

Quesiti della seconda prova di Maturità 2010

 

1) Sia p(x) un polinomio di grado n. Si dimostri che la sua derivata n-esima è p^{(n)}(x)= n! a_n dove a_n è il coefficiente di x^{n}

 

R.1) Scriviamo il polinomio di grado n 

 

p(x)= a_n x^n+ a_{n-1}x^{n-1}+\cdots+ a_0

 

derivando il polinomio n volte tutti i monomi di grado inferiore ad n si annullano mentre il monomio di grado n ha questo comportamento:

 

D[a_n x^n]= n a_n x^{n-1}

 

D[D[a_n x^{n}]]= n (n-1) a_nx^{n-2}

 

D[D[D[a_n x^{n}]]]= n(n-1)(n-2)a_n x^{n-3}

 

derivando n volte:

 

D_{(n)}[a_n x^{n}]= n(n-1)(n-2)(n-3)\cdots (n-n+1) a_n x^{n-n}= n!a_n

 

 

2) Siano ABC un triangolo rettangolo in A, r la retta perpendicolare in B al piano del triangolo e P un punto di r distinto da B. Si dimostri che i tre triangolo PAB, PBC, PCA sono triangoli rettangoli. 

 

R.2) r è perpendicolare al piano \pi contenente il triangolo rettangolo ABC, dunque r è perpendicolare a BC e ad AB, questa informazione ci permette di asserire che ABP e BCP sono triangoli rettangoli e per il teorema delle 3 perpendicolari anche APC è rettangolo ed è quello che volevamo mostrare.

 

 

3) Sia \gamma il grafico di f(x)= e^{3x}+1. Per quale valore di x a retta tangente a \gamma in (x, f(x)) ha pendenza uguale a 2? 

 

R.3) Calcoliamo il coefficiente angolare della retta tangente al grafico nel punto x, utilizzando l'interpretazione di derivata si ha che:

 

f'(x)= 3e^{3x}

 

imponiamo che sia uguale a 2

 

f'(x)= 2 se e solo se 3 e^{3x}= 2

 

da cui x= \frac{1}{3}\ln\left(\frac{2}{3}\right).

 

 

4) Si calcoli: \lim_{x\to \infty}4x \sin\left(\frac{1}{x}\right).

 

R.4) Poniamo t= \frac{1}{x} ed osserviamo che quando x tende a più infinito t tende a 0, il limite si scrive come:

 

\lim_{t\to 0}4\frac{\sin(t)}{t}= 4

 

e lo possiamo asserire grazie al limite notevole \lim_{t\to 0}\frac{\sin(t)}{t}= 1.

 

 

5) Un serbatoio ha la stessa capacità del massimo cono circolare retto di apotema 80 cm. Quale è la capacità in litri del serbatoio? 

 

R.5) Chiamiamo x il raggio della circonferenza di base del cono e con h e a indichiamo rispettivamente l'altezza e l'apotema del cono.

 

Quesito 5 della seconda prova dell'esame di Maturità 2010

 

Grazie alle formule del precedente link sappiamo che il volume è dato da:

 

V(x)= \frac{\pi x^2 h}{3} con x\in (0, 80) 

 

Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo generatore: possiamo esprimere l'altezza in funzione dell'apotema, la cui lunghezza è data dall'esercizio, e dal raggio x

 

h= \sqrt{a^2-x^2}

 

dunque il volume, in funzione di x, è

 

V(x)= \frac{\pi x^2 \sqrt{80^2-x^2}}{3}

 

Dobbiamo determinare il massimo volume, e lo facciamo calcolando la derivata prima:

 

V'(x)= \frac{\pi x (12800-3 x^2)}{3\sqrt{6400-x^2}}

 

la derivata prima è zero se e solo se x= 0\vee x=\pm 80 \sqrt{\frac{2}{3}}. L'unica soluzione accettabile è

 

x= 80\sqrt{\frac{2}{3}}

 

Lo studio del segno della derivata prima ci permettera di catalogare il punto stazionario considerato.

 

V'(x)\textgreater 0 se e solo se 0\textless x\textless 80\sqrt{\frac{2}{3}}

 

dunque x= 80 \sqrt{\frac{2}{3}} è un punto di massimo, il massimo volume è:

 

V\left(80 \sqrt{\frac{2}{3}}\right)= \frac{1024000\pi }{9\sqrt{3}}\simeq 206370\,\, cm^3= 206, 37\,\, dm^3= 206, 37\,\, l

 

 

6) Si determini il dominio della funzione f(x)= \sqrt{\cos(x)}

 

R.6) Dobbiamo richiedere che l'argomento della radicie, con indice pari, sia maggiore o uguale a zero, questa pretesa ci porta alla disequazione \cos(x)\ge 0 che ha per soluzione

 

-\frac{\pi}{2}+ 2k\pi\le x\le \frac{\pi}{2}+ 2k\pi con k\in \mathbb{Z}

 

 

7) Per quale o quali valori di k la funzione:

 

h(x)= \begin{cases}3x^2-11x-4&\mbox{  se } x\le 4\\ kx^2 -2x-1 &\mbox{ se }x\textgreater 4\end{cases}

 

è continua in x=4?

 

R.7) Affinché si tratti di una funzione continua nel punto x=4 dobbiamo richiedere che i limiti seguenti coincidano.

 

h_{+}(4)= \lim_{x\to 4^{+}}h(x)= \lim_{x\to 4^{+}}k x^2-2x-1= 16 k- 9

 

h_{-}(4) =\lim_{x\to 4^{-}}h(x)=\lim_{x\to 4^{-}} 3x^2-11x-4=0

 

Uguagliamo i due limiti così da ottenere l'equazione lineare:

 

16k-9= 0 e dunque k= \frac{9}{16}

 

 

8) Se n\textgreater 3 e \binom{n}{n-1},\, \binom{n}{n-2},\,\, \binom{n}{n-3} sono in progressione aritmetica, qual è il valore di n? 

 

R.8) Poiché i tre coefficienti sono in progressione aritmetica allora la differenza tra due elementi consecutivi è costante

 

\binom{n}{n-3}-\binom{n}{n-2}= \binom{n}{n-2}- \binom{n}{n-1}

 

ricordando che

 

\binom{n}{k}= \frac{n!}{k! (n-k)!}

 

allora l'equazione impostata precedentemente diventa

 

\frac{n(n-1)(n-2)}{6}-\frac{n(n-1)}{2}= \frac{n(n-1)}{2}- n

 

riportando in forma normale l'equazione

 

\frac{(n-7)(n-2)n}{6}=0

 

per la legge di annullamento del prodotto, le soluzioni dell'equazione sono

 

n= 0\vee n=2\vee n=7

 

ma solo l'ultima è accettabile perché rispetta la pretesa che n\textgreater 3.

 

 

9) Si provi che non esiste un triangolo ABC con AB= 3, AC= 2 e l'angolo ABC= 45 gradi. Si provi altresì che se AB=3, AC=2 e l'angolo ABC= 30 gradi, allora esistono due triangoli che soddisfano queste condizioni.

 

R.9) Supponiamo che sia possibile costruire un triangolo con le caratteristiche date dalla traccia

 

AB= 3, AC= 2 e l'angolo ABC= 45 gradi

 

Per il teorema dei seni abbiamo

 

\frac{2}{\sin(45^o)}= \frac{3}{\sin(\gamma)}

 

da cui \sin(\gamma)= \frac{3}{2}\sin(45^o)= \frac{3}{2}\frac{\sqrt{2}}{2}\simeq 1.06

 

abbiamo raggiunto l'assurdo perché il seno di \gamma deve necessariamente essere una quantità compresa tra -1 e 1, non può essere certo 1.06.

 

Se invece l'angolo ABC= 30^{o} allora sempre per il teorema dei seni:

 

\frac{2}{\sin(30^{o})}= \frac{3}{\sin(\gamma)}

 

da cui il seno di \gamma è :

 

\sin(\gamma)= \frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}= \frac{3}{4}

 

e quindi \gamma= \arcsin\left(\frac{3}{4}\right)\vee \gamma= \pi -\arcsin\left(\frac{4}{3}\right). Con ognuno dei valori che abbiamo determinato possiamo costruire il triangolo con le richieste della traccia (abbiamo quindi due triangoli).

 

 

10) Si consideri la regione delimitata da y= \sqrt{x} dall'asse x e dalla retta x= 4 e si calcoli il volume del solido che essa genera ruotando di un giro completo intorno all'asse y.

 

R.10) Si procede con il metodo dei gusci cilindrici perché la rotazione avviene attorno all'asse y (vedi le formule per il volume dei solidi di rotazione).

 

V= 2\pi \int_{0}^{4}x\sqrt{x}dx=\left[\frac{2}{5}x^{\frac{5}{2}}\right]_{0}^{4}=  \frac{128}{5}\pi

 

Quesito 5 della seconda prova di Maturità 2010

 

Abbiamo finito! Se hai dubbi o se vuoi risolvere esercizi simili ai precedenti, ne puoi trovare a tonnellate su YM. Sono tutti a portata di click, ti basta chiedere alla nostra barra di ricerca.

 

 

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