Svolgimento esame di Maturità 2010 - problema 2

In questa pagina trovi lo svolgimento completo del problema 2 della seconda prova, esame di Maturità 2010, rivolta agli studenti dell'ordinamento tradizionale 2010 del liceo Scientifico. Lo svolgimento è proposto per punti e ogni passaggio che lo richiede è linkato alla lezione di teoria e al metodo di risoluzione dell'esercizio in generale.

 

Traccia del problema 2 dell'esame di Maturità 2010

 

Nel piano, riferito a coordinate cartesiane Oxy, si consideri la funzione f definita da f(x)= b^x (b\textgreater 0, b\ne 1).

 

1) Sia G_b il grafico di f(x) relativo a un assegnato di b. Si illustri come varia G_b al variare di b.

 

2) Sia P un punto di G_b. La tangente a G_b in  P e la parallela per P all'asse y intersecano l'asse x rispettivamente in A e in B. Si dimostri che, qualsiasi sia P, il segmento AB ha lunghezza costante. Per quali valori di b la lunghezza di AB è uguale a 1?

 

3) Sia r la retta passante per O tangente a G_e (e = numero di Nepero). Qual è la misura in radianti dell'angolo che la retta r forma con il semiasse positivo di ascisse?

 

4) Si calcoli l'area della regione del primo quadrante delimitata dall'asse y, da G_{e} e dalla retta di equazione y= e

 

Soluzione per punti del problema 2 - Esame di Maturità 2010

 

(Per comodità ricopieremo in ogni punto la parte corrispondente del testo).

 

Punto 1

 

Sia G_b il grafico di f(x) relativo a un assegnato di b. Si illustri come varia G_b al variare di b.

 

Svolgimento: f(x)= b^{x} è una famiglia di funzioni esponenziali con le seguenti caratteristiche:

 

a) f(0)= 1 per ogni b\in (0,1)\cup (1,+\infty)

 

cioè tutte le funzioni passano per il punto (0,1). Iniziamo supponendo che la base b sia compresa tra 0 e 1. In tal caso la funzione è decrescente positiva e convessa. Possiede un asintoto orizzontale destro di equazione y= 0

 

Se b\textgreater 0, la funzione è positiva, crescente e convessa. Possiede inoltre un asintoto orizzontale sinistro di equazione y= 0.

 

Punto 1 del secondo problema, seconda prova di Maturità 2010

 

Punto 2

 

Sia P un punto di G_b. La tangente a G_b in  P e la parallela per P all'asse y intersecano l'asse x rispettivamente in A e in B. Si dimostri che, qualsiasi sia P, il segmento AB ha lunghezza costante. Per quali valori di b la lunghezza di AB è uguale a 1?

 

Svolgimento: consideriamo un punto del grafico di G_b P

 

Punto 2 del secondo problema, seconda prova di Maturità 2010

 

esso avrà coordinate P\left(x_0, b^{x_0}\right) e la retta parallela all'asse y passante per P, la sua equazione è ovviamente x= x_0 e coincide con l'ascissa del punto A. La retta tangente al grafico in P è data dalla relazione:

 

y= f'(x_0)(x-x_0)+ f(x_0) cioè y= b^{x_0}+ b^{x_0}\ln(b)(x-x_0)

 

Determiniamo il punto B impostando il sistema

 

\begin{cases}y= 0\\ y= b^{x_0}+ b^{x_0} \ln(b)(x-x_0)\end{cases}

 

che conduce alla equazione risolvente b^{x_0}+ b^{x_0}\ln(b)(x-x_0)= 0. Risolviamo rispetto ad x così da determinare l'ascissa del punto B.

 

x= x_{B}= \frac{-1+x_0\ln(b)}{\ln(b)}

 

la distanza tra le ascisse del punto A e del punto B è |x_{A}- x_{B}|= \left|\frac{1}{\ln(b)}\right| che è costante per ogni b\in(0,1)\cup (1, +\infty).

 

Determiniamo la base b di modo che venga rispettata la condizione

 

\left|\frac{1}{\ln(b)}\right|=1

 

che è equivalente all'unione delle soluzioni

 

\frac{1}{\ln(b)}= 1\vee \frac{1}{\ln(b)}= -1

 

Risolvendo le due equazioni arriveremo a b= e^{-1}\vee b= e.

 

Punto 3

 

Sia r la retta passante per O tangente a G_e (e= numero di Nepero). Qual è la misura in radianti dell'angolo che la retta r forma con il semiasse positivo di ascisse?

 

Svolgimento: consideriamo un punto generico appartenente al grafico Q(x_0, e^{x_0}). La retta tangente al grafico nel punto Q ha equazione

 

r_{x_0}:y= e^{x_0}(x-x_0)+ e^{x_0} da cui y= e^{x_0}x + e^{x_0}(1-x_0 )

 

Sappiamo che la retta tangente passa per il punto (0,0), imponiamo quindi il passaggio così da determinare x_0:

 

e^{x_0}(1-x_0)= 0 

 

per la legge di annullamento del prodotto scriveremo agevolmente che x_0= 1. La retta passante per (0,0) e tangente al grafico della funzione f(x)= e^{x} è:

 

r: y= e x

 

Il coefficiente angolare della retta r rappresenta la tangente dell'angolo che ha per lati la retta e l'asse delle x positive: \tan(\alpha)= e (vedi le formule sulla retta). Applicando membro a membro l'arcotangente \alpha= \arctan(e)= 1.22 \mbox{rad}

 

Punto 4

 

Si calcoli l'area della regione del primo quadrante delimitata dall'asse y, da G_{e} e dalla retta di equazione y= e

 

Svolgimento: determiniamo il punto di intersezione tra l'asse y e il grafico G_e tramite il sistema

 

\begin{cases}y= e^x\\ x= 0\end{cases}

 

Punto 4 del secondo problema, seconda prova di Maturità 2010

 

Il punto di intersezione, che chiamiamo A, ha coordinate A(0,1). Calcoliamo ora il punto di intersezione tra la retta y= e e il grafico, in questo caso il sistema da impostare sarà

 

\begin{cases}y= e^{x}\\ y= e\end{cases}

 

Esso è equivalente all'equazione e^{x}= e e quindi x= 1. Il punto, che chiamiamo B, avrà coordinate B= (1, e). L'area del triangolo mistilineo è dato dall'integrale:

 

\mbox{Area}(T)=\int_{x_A}^{x_B}e-e^{x}dx = \int_ {0}^{1}e- e^{x}dx= 1

 

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