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Soluzioni
  • Problema risolto

    Prima di procedere con la spiegazione consiglio di rappresentare con un disegno il trapezio rettangolo, protagonista del problema.

     

    Problema di trigonometria con trapezio rettangolo

     

    Chiamiamo x l'angolo B\hat{A}C.

    Affinché il poligono sia effettivamente un trapezio rettangolo dobbiamo richiedere che 0<x<\frac{\pi}{2}.

    Osserviamo inoltre che per il teorema sulle rette parallele tagliate da una trasversale si ha che l'angolo A\hat{C}D=B\hat{A}C=x.

    Poniamo \alpha=C\hat{B}A, esso è tale che \cos(\alpha)=\frac{3}{\sqrt{13}}

    Per il primo teorema trigonometrico sul triangolo rettangolo possiamo scrivere che:

    AD=AC\sin(x)

    DC=AC\cos(x)

    Se caso mai non lo ricordassi, ti consiglio di leggere la lezione sui teoremi di trigonometria sui triangoli rettangoli.

    Il nostro obiettivo è quello di esprimere il lato AC in funzione del lato AB, facendo intervenire il teorema dei seni:

    \frac{AC}{\sin(\alpha)}=\frac{AB}{\sin(A\hat{C}B)}

    dove 

    \sin(\alpha)=\pm\sqrt{1-\cos^2(\alpha)}=\sqrt{1-\frac{9}{13}}=\frac{2}{\sqrt{13}}

    e poiché 0<\alpha<\frac{\pi}{2} allora il seno di tale angolo è positivo.

    Ricordando che la somma degli angoli interni di un triangolo è \pi allora:

    A\hat{C}B=\pi-x-\alpha

    dunque la relazione precedente si riscriverà come:

    AC=\frac{\sqrt{13}}{2}AB\sin(\pi-x-\alpha)=\sqrt{13}a\sin(x+\alpha)

    Nell'ultimo passaggio sono intervenute in nostro soccorso le formule sugli archi associati del seno. Utilizziamo ora la formula di addizione del seno:

    AC=\sqrt{13}a(\sin(\alpha)\cos(x)+\cos(\alpha)\sin(x))=

    \sqrt{13}a\left(\frac{2}{\sqrt{13}}\cos(x)+\frac{3}{\sqrt{13}}\sin(x)\right)=

    a(2\cos(x)+3\sin(x))

    Perfetto! Ora siamo in grado di esprimere AD che DC in modo che il problema sia facilmente risolvibile:

    AD=a(3\sin(x)+2\cos(x))\sin(x)

    DC=a(3\sin(x)+2\cos(x))\cos(x)

    dunque la relazione:

    5AD+DC=ka

    diventa

    5a (3\sin(x)+2\cos(x))\sin(x)+a(3\sin(x)+2\cos(x))\cos(x)=ka

    Raccogliamo totalmente a e semplifichiamola membro a membro, sviluppando i prodotti arriveremo a:

    13\sin(x)\cos(x)+13\sin^2(x)+2=k

    essa è un'equazione di grado 2 in seno e coseno. Per risolverla divideremo per \cos^2(x) ciascun termine così da ottenere:

    13\tan(x)+13\tan^2(x)+\frac{2-k}{\cos^2(x)}=0

    Ora \frac{1}{\cos^2(x)}=1+\tan^2(x) dunque l'equazione diventa

    (15-k)\tan^2(x)+13\tan(x)+2-k=0

    Poniamo t=\tan(x):

    (15-k)t^2+13 t+2-k=0

    A questo punto risolviamo l'equazione di secondo grado in t, essa ammette soluzioni reali se e solo se Il discriminante associato è non negativo:

    \Delta=49+68k-4k^2\ge 0\iff  \frac{1}{2}(17-13\sqrt{2}) \le k\le \frac{1}{2}(17+13\sqrt{2})

    Osserviamo inoltre che k deve essere positivo altrimenti non avrebbe senso l'equazione 5AD+DC=k a, salta fuori un ulteriore vincolo 

    0<k\le \frac{1}{2}(17+13\sqrt{2})

    In tal caso:

    t_{1,2}=\frac{-13\pm \sqrt{49+68k-4 k^2}}{2(15-k)}\mbox{ con }k\ne 15

    Dunque:

    \tan(x)=\frac{-13\pm\sqrt{49+68k-4k^2}}{2(15-k)}\iff x=\arctan\left(\frac{-13\pm\sqrt{49+68k-4k^2}}{2(15-k)}\right)

    Per k=15 l'equazione si riduce a:

    13 t-13=0\implies t=1\implies \tan(x)=1\implies x=\frac{\pi}{4}.

    L'analisi è conclusa. :) 

    Risposta di Ifrit
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