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Soluzioni
  • Il teorema dice che, una volta trovata una soluzione particolare v_0 del sistema Ax=b, allora, per trovare tutte le altre è sufficiente considerare le soluzioni della forma v=v_0+w, dove w appartiene all'insieme delle soluzioni del sistema omogeneo Ax=0.

     

    Tutto ciò è contenuto nel testo del teorema, ma ammetto che possa suonare abbastanza oscuro.

    In realtà questo teorema discende quasi direttamente dal teorema di Rouché-Capelli, che dice:

     

    Teorema (Rouché-Capelli):

    Sia Ax=b un sistema lineare. Questo ammette soluzioni se e solo se il rango della matrice completa è uguale a quello della matrice incompleta.

     

    In sostanza si ha che un sistema lineare ammette soluzioni se il vettore dei termini noti (l'ultima colonna della matrice completa), è immagine dell'applicazione LA associata alla matrice A dei coefficienti.

    Come si capisce questo? Dal fatto che il teorema ci dice che le due matrici devono avere rango uguale, il rango altro non è che la dimensione delle immagini; quindi se la matrice dei coefficienti (matrice incompleta), ha rango uguale a quello della matrice completa, (matrice completa orlata con la colonna dei termini noti), significa che il vettore dei termini noti appartiene all'immagine di LA.

    In sostanza lo span dei vettori colonna dati dai coefficienti del sistema lineare deve essere uguale allo span di quegli stessi vettori più il vettore dei termini noti.

    Questo succede soltanto se i due span hanno la stessa dimensione, ma, a questo punto, è sufficiente osservare che la dimensione dello span dei vettori colonna dei coefficienti è proprio il rango di A.

     

    Questo spiega perché possiamo trovare una soluzione del sistema Ax=b e ricavare le altre semplicemente sommando questa soluzione particolare alle soluzioni del sistema omogeneo, ti torna?

    Risposta di Alpha
  • Ancora non ho del tutto capito. Inanzitutto cosa significa che 

     il vettore dei termini noti, è immagine dell'applicazione LA associata alla matrice A dei coefficienti?

    Poi vorrei capire graficamente come si potrebbe rappresentare questo teorema. Potresti farmi un esempio in R3?

    Risposta di xavier310
  • Vuol dire quello che ti ho scritto sotto. Provo a farti un esempio con un sistema generico, permettimi di usare due equazioni in due incognite.

    A=\left\{\begin{matrix}a_{1,1}x_1+a_{1,2}x_2=b_1\\a_{2,1}x_1+a_{2,2}x_2=b_2\end{matrix}

    La matrice A è

    \left[\begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2}\\a_{2,1} & a_{2,2}\end{matrix}\right]

    si dice matrice dei coefficienti.

    Le sue colonne sono

    A^1=\left[\begin{matrix}a_{1,1} \\ a_{2,1}\end{matrix}\right]

    A^2=\left[\begin{matrix}a_{1,2} \\ a_{2,2}\end{matrix}\right]

    il vettore colonna dei termini noti è

    B=\left[\begin{matrix}b_1 \\ b_2\end{matrix}\right]

    La matrice orlata con il vettore colonna dei termini noti, (matrice completa) è

    A_b=\left[\begin{matrix}a_{1,1} & a_{1,2} & b_1\\a_{2,1} & a_{2,2} & b_2\end{matrix}\right]

    Se il rango di A è uguale al rango di Ab allora lo span di A1, A2 è uguale allo span di A1, A2 , B.

    Tutto qui!

    Risposta di Alpha
  • Scusami tanto, ma ho un po di confusione in testa EmbarassedCry

    Allora:

    Il teorema dice che, una volta trovata una soluzione particolare (v0) del sistema Ax=b, allora, per trovare tutte le altre è sufficiente considerare soluzione della forma v=v0+w, dove w è una soluzione del sistema omogeneo Ax=0. 

    Se nel sistema l’unica soluzione è v0 in quale caso siamo?

    Se l’unica soluzione è w in quale altro caso siamo?

    Ultime due domande:

    - se in uno spazio R3 abbiamo le soluzioni del sistema omogeneo Ax=0 che vengono rappresentate da un piano passante dall’origine e le soluzioni del sistema Ax=b vengono rappresentate da un piano non passante dall’origine. Questi due piani sono paralleli? E dal teorema di struttura come faccio a disegnare i vettori di tutte le soluzioni prendendo v=v0+w?

    Risposta di xavier310
  • Non devi scusarti! 

    w non è un unica soluzione, sono le soluzioni del sistema omogeneo. Il teorema ti dà un modo per ricavare le soluzioni del sistema con termini noti non tutti nulli a partire da quello omogeneo. In sostanza ti dice: sai trovare almeno una soluzione del sistema Ax=b? Benissimo, le altre le ricaviamo da Ax=0 che è più semplice da risolvere!

    Se le soluzioni fossero solo w saresti nel caso in cui b=0, cioè il tuo sistema sarebbe in partenza Ax=0. Dunque non avrebbe senso applicare il teorema perché staresti già lavorando con un sistema omogeneo!

    Direi che per chiarire le cose ci vorrebbe un esempio.

    Consideriamo il seguente sistema lineare:

    \left\{\begin{matrix}x+2z=3\\2x+y+z=0\\3x+y+3z=3\end{matrix}

    La matrice dei coefficienti è

    A=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\2 & 1 & 1\\3 & 1 & 3\end{matrix}\right]

    La matrice orlata è

    A_b=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2 & 3\\2 & 1 & 1 & 0\\3 & 1 & 3 & 3\end{matrix}\right]

    Questa matrice può essere ridotta a scala (sistema di eliminazione di Gauss), otterrai 

    A_b^{scala}=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2 & 3\\0 & 1 & -3 & -6\\0 & 0 & 0 & 0\end{matrix}\right]

    cioè, tornando al sistema, otteresti

    \left\{\begin{matrix}x+2z=3\\y-3z=-6\\0=0\end{matrix}

    Saresti potuto arrivare qui utilizzando il metodo di sostituzione per esempio, ma è molto più lungo! 

    Vedi bene come le soluzioni siano dipendenti da un parametro:

    \left\{\begin{matrix}x=3-2z\\y=-6+3z\\0=0\end{matrix}

    Chiamiamo il nostro parametro a, avremo che le soluzioni sono date da

    S=\{(3-2a,-6+3a,a)\colon a\in\mathbb{R}\}

    Abbiamo una soluzione particolare! Troviamo le soluzioni di Ax=0:

    A=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\2 & 1 & 1\\3 & 1 & 3\end{matrix}\right]

    riduciamola a scala, (ti ricordo che se non conosci il procedimento per farlo puoi sempre utilizzare i metodi standard di risoluzione di sistemi per ricondurti a questa matrice):

    A^{scala}=\left[\begin{matrix}1 & 0 & 2\\0& 1 & -3\\0 & 0 & 0\end{matrix}\right]

    Procedendo come prima troviamo le soluzioni:

    \left\{\begin{matrix}x+2z=0\\y-3z=0\\0=0\end{matrix}

    Anche in questo caso le soluzioni sono dipendenti da un parametro (sia a) e sono tali che

    S=\{(-2a,-3a,a)\colon a\in\mathbb{R}\}

    Per il teorema si ha che

    \{(3-2a,-6+3a,a)\colon a\in\mathbb{R}\}=\{(-2a,-3a,a)\colon a\in\mathbb{R}\}+(3,-6,0)

    Dunque le soluzione generali del sistema Ax=b sono uguali alla somma tra le soluzioni del sistema Ax=0 più una soluzione particolare, ottenuta ponendo il parametro a=0.

    Meglio ora?

    Risposta di Alpha
  • Si ora va molto meglio SmileSmile

    Ultimi due chiarimenti: Volendo rappresentare graficamente il tuo esempio in un sistema di assi cartesiani, le soluzioni del sistema omogeneo sono un piano passante dall'origine e quelle del sistema Ax=b sono rappresentate da un piano paralello a quello delle sol. omogenee o è diversamente da come dico? E volevo anche capire a cosa servirà il teorema di struttura in termini pratici nel proseguio degli studi?

    Risposta di xavier310
  • Problema risolto

    Sostanzialmente lo spazio p+W, dove con p intendo il vettore soluzione particolare e W il sottospazio ricavato dalle soluzioni del sistema omogeneo, rappresenta un sottospazio affine dello spazio vettoriale di partenza, sostanzialmente p+W è una copia di W traslata del vettore p.

    Risposta di Alpha
  • 6 stato perfetto! ora è tutto chiaro Laughing ti ringrazio 

    Risposta di xavier310

 

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