Soluzioni
  • Tre numeri naturali formano una terna pitagorica se soddisfano il teorema di Pitagora; ovviamente assoceremo alla misura dell'ipotenusa il più grande tra i tre numeri e gli altri due svolgeranno il ruolo di cateti.

     

    Esempi di terne pitagoriche

    \{3, \ 4, \ 5\} è una terna pitagorica in quanto:

    \underbrace{5^2}_{25}=\underbrace{3^2}_{9}+\underbrace{4^2}_{16}

    mentre

    \{7, \ 8, \ 9\} non lo è, in quanto:

    \underbrace{9^2}_{81} \neq \underbrace{8^2}_{64}+\underbrace{7^2}_{49}

     

    Volendo esprimere in formule la definizione di terna pitagorica, diremo che, per ogni a, b, c (numeri naturali diversi da zero) con a>b e a>c:

    \{a, \ b, \ c\} \ \mbox{terna pitagorica} \ \iff \ a^2=b^2+c^2

    Inoltre, se i tre numeri che formano una terna pitagorica sono coprimi, ovvero il loro massimo comun divisore è uguale a 1, la terna pitagorica {a,b,c} si dice primitiva.

    Ad esempio, {5, 12, 13} è una terna pitagorica primitiva, mentre {15, 20, 25} è una terna pitagorica ma non primitiva.

     

    Esaudisco ora all'altra tua richiesta: vediamo come si possono costruire le terne pitagoriche.

     

    - Se ne hai già tra le mani una, {a, b, c}, a partire da essa ne potrai ricavare infinite.

    Basta infatti prendere un qualsiasi numero naturale k \in \mathbb{N}, \ k \neq 0 e moltiplicare ciascun termine della terna per k: {ka, kb, kc} è una nuova terna pitagorica.

     

    - Esiste inoltre una formula che permette di generare terne pitagoriche. Basta scegliere due numeri naturali e non nulli (diciamoli h e k), con h>k. Allora:

    {\color{red}a}=h^2-k^2, \ {\color{red}b}=2hk, \ {\color{red}c}=h^2+k^2

    formano una terna pitagorica. Ad esempio presi h=8 e k=5 avremo:

    a=h^2-k^2=8^2-5^2=64-25=39

    b=2hk=2 \cdot 8 \cdot 5=80

    c=h^2+k^2=8^2+5^2=64+25=89

    che saranno i tre termini di una nuova terna ;)

    Possiamo dire di più! Se h e k sono primi tra loro ed uno è pari e l'altro è dispari allora la terna pitagorica è primitiva, altrimenti no.

    ;)

    Risposta di Omega
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