Soluzioni
  • C'è una importantissima premessa da fare quando si parla dell'iperbole equilatera.

    Un'iperbole equilatera per definizione è un'iperbole in cui i semiassi sono congruenti

    a=b

    Solitamente quando si parla dell'iperbole equilatera ci si riferisce, a meno che il contesto non lasci intendere diversamente, a un'iperbole equilatera con equazione in forma canonica. Se si vuole essere puntigliosi si parla di iperbole equilatera riferita ai propri assi.

    In parole povere l'equazione di un'iperbole equilatera riferita ai propri assi è della forma

    \frac{x^2}{a^2} -\frac{y^2}{a^2} = \pm 1

    dove il segno ± si sceglie a seconda che l'iperbole intersechi l'asse x oppure l'asse y.

    In questo caso valgono le classiche formule per i fuochi dell'iperbole.

    Sappiamo però che esiste un altro modo di esprimere l'equazione dell'iperbole equilatera:

    xy=k

    Questa equazione rappresenta un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti e, in tal caso, le cose cambiano. Qui infatti l'equazione viene costruita in modo che gli asintoti dell'iperbole coincidano con gli assi cartesiani e di conseguenza gli assi dell'iperbole finiscono per coincidere con le bisettrici dei quattro quadranti.

    I fuochi di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti si calcolano mediante le formule

    \\ F_1=(-\sqrt{2k},-\sqrt{2k})\ \ \ ;\ \ \ F_2=(\sqrt{2k},\sqrt{2k})\ \ \ \mbox{se }k>0\\ \\ F_1=(-\sqrt{2(-k)},\sqrt{2(-k)})\ \ \ ;\ \ \ F_2=(\sqrt{2(-k)},-\sqrt{2(-k)})\ \ \ \mbox{se }k<0

    Come si vede facilmente dalle formule:

    - se k>0 i fuochi dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti cadono sulla bisettrice del primo-terzo quadrante;

    - se k<0 i fuochi dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti cadono sulla bisettrice del secondo-quarto quadrante;

     

    In sintesi, per trovare i fuochi di un'iperbole equilatera basta far attenzione al tipo di equazione che ci viene presentata (canonica-riferita ai propri assi oppure riferita ai propri asintoti) ed applicare le formule opportune.

    Esempio di calcolo degli asintoti di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

    Calcolare le coordinate dei fuochi dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti di equazione xy=-18.

    Svolgimento: dato che k=-18<0 dovremo ricorrere al secondo gruppo di formule e sappiamo in partenza che i fuochi appartengono alla bisettrice del secondo e del quarto quadrante

    \\ F_1=(-\sqrt{2(-k)},\sqrt{2(-k)})=(-\sqrt{36},\sqrt{36})=(-6,+6)\\ \\ F_2=(\sqrt{2(-k)},-\sqrt{2(-k)})=(\sqrt{36},-\sqrt{36})=(+6,-6)

    Per concludere ti lascio un link utile: scheda di esercizi svolti sull'iperbole equilatera. ;)

    Risposta di Galois
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
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