Soluzioni
  • L'equazione dell'iperbole equilatera genera solitamente molti dubbi perché può presentarsi in due diverse forme: riferita agli assi (detta anche in forma canonica) oppure riferita agli asintoti.

    Vediamo di fare chiarezza partendo dalla definizione di iperbole equilatera: è un'iperbole in cui i due semiassi sono congruenti: a=b.

    Equazione dell'iperbole equilatera in forma canonica / riferita agli assi

    Ricordiamo com'è fatta l'equazione dell'iperbole in forma canonica: se il centro è C=(x_C,y_C), abbiamo

    \frac{(x-x_C)^2}{a^2}-\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=\pm1

    dove al secondo membro abbiamo +1 se essa interseca l'asse x oppure -1 se essa interseca l'asse y.

    Se il centro è nell'origine la precedente equazione si riduce a

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=\pm1

    Indipendentemente dal punto in cui è situato il centro - diciamo per semplicità nell'origine - dalla definizione di iperbole equilatera (a=b) passiamo immediatamente all'equazione dell'iperbole equilatera riferita agli assi (o in forma canonica)

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{a^2}=\pm1

    che viene talvolta espressa nella forma equivalente

    x^2-y^2=\pm a^2

    dove come al solito è +1 se essa interseca l'asse delle ascisse oppure -1 se interseca l'asse delle ordinate.

    Equazione dell'iperbole equilatera riferita agli asintoti

    Se hai già studiato il formulario sull'iperbole saprai di per certo che un'iperbole equilatera ha gli asintoti perpendicolari tra loro.

    Solo e solamente nel caso di un'iperbole equilatera con centro nell'origine, tale proprietà ci permette di scrivere una forma equivalente alla precedente equazione - equivalente nel senso che individua sempre un'iperbole equilatera - ma considerando come assi cartesiani gli asintoti dell'iperbole equilatera.

    D'altronde gli asintoti sono perpendicolari e si intersecano nell'origine, quindi si candidano splendidamente per essere gli assi del piano cartesiano!

    Come diretta conseguenza di questa scelta gli assi dell'iperbole non coincidono più con gli assi cartesiani, come succede nel caso canonico, e sono collocati sulle bisettrici dei quattro quadranti.

    Se optiamo per questa scelta l'equazione assume tutta un'altra forma, e non a caso viene detta equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti:

    xy=k

    Il termine k può essere positivo o negativo, ma non nullo:

    - se k>0 i fuochi giacciono sulla bisettrice del primo e del terzo quadrante.

    - se k<0, i fuochi giacciono sulla bisettrice del secondo e quarto quadrante.

    In ogni caso, avremo un unico parametro da determinare, ovvero k.

    Che dire del caso di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti con centro non nell'origine? Non si parla più di iperbole equilatera riferita agli asintoti, bensì di funzione omografica.

    Esempio sull'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

    (Prevede di conoscere le formule che abbiamo elencato nel formulario). Determinare l'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti che ha i fuochi nei punti di coordinate F_1(-2,2),\ F_2(2, -2).

    Svolgimento: i fuochi stanno sulla bisettrice del secondo e quarto quadrante perché soddisfano l'equazione y=-x.

    Di conseguenza l'equazione da considerare è del tipo:

    xy=k\ \ \ \mbox{con }k<0

    Dobbiamo determinare k. Ricordiamo che in questo caso i fuochi dell'iperbole equilatera sono dati dalle formule

    F_1=(-\sqrt{2(-k)},\sqrt{2(-k)})\ \ \ ;\ \ \ F_2=(\sqrt{2(-k)},-\sqrt{2(-k)})

    per cui le coordinate del primo fuoco sono sufficienti per i nostri scopi

    F_1(-\sqrt{2(-k)}, \sqrt{2(-k)})=(-2,2)

    e possiamo determinare k impostando l'equazione:

    \sqrt{-2k}=2\ \to\ -2k=4\ \to\ k=-2

    L'equazione dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti è quindi

    xy=-2

    Per risolvere questa tipologia di esercizi è fondamentale interpretare correttamente il testo della traccia, e ovviamente conoscere veramente bene le formule. 

    Non sai dove trovarle? Ecco a te tutte le formule dell'iperbole equilatera. ;)

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
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