Soluzioni
  • I fuochi dell'iperbole sono i due punti fissi per i quali la differenza delle distanze di ogni punto dell'iperbole dai fuochi è costante. In altri termini i fuochi dell'iperbole sono i punti che permettono di definirla come luogo geometrico mediante un'equazione.

    In simboli il ruolo dei fuochi dell'iperbole dovrebbe essere molto più chiaro: detti essi F_1,F_2, l'iperbole è il luogo geometrico dei punti P del piano che soddisfano la condizione

    |\overline{PF_1}-\overline{PF_2}|=\mbox{costante}

    dove in termini algebrici abbiamo considerato la differenza in valore assoluto perché, in generale, non possiamo sapere a priori quale tra le misure \overline{PF_1},\overline{PF_2} sia la maggiore.

    Formule per i fuochi dell'iperbole

    Le formule per le coordinate dei fuochi di un'iperbole dipendono dalla forma con cui si presenta l'equazione dell'iperbole. Dobbiamo distinguere tra i seguenti casi:

    - iperbole con assi coincidenti o paralleli agli assi cartesiani e che interseca l'asse x

    - iperbole con assi coincidenti o paralleli agli assi cartesiani e che interseca l'asse y

    A prescindere dai casi dovremo sempre fare riferimento alla semidistanza focale, indicata con c e data da

    c=\sqrt{a^2+b^2}

    dove a,b denotano le misure dei semiassi (per tutte le altre formule ti rimando alla lettura del formulario sull'iperbole).

    Fuochi dell'iperbole con assi paralleli o coincidenti agli assi cartesiani che interseca l'asse x

    Detto C=(x_C,y_C) il centro dell'iperbole, l'equazione si presenta nella forma

    \frac{(x-x_C)^2}{a^2}-\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=1

    e le coordinate dei fuochi sono date da

    F_1=(x_C-c,y_C)\ \ \ ;\ \ \ F_2=(x_C+c,y_C)

    Come caso particolare dell'iperbole traslata che interseca l'asse x possiamo considerare l'iperbole con centro nell'origine che interseca l'asse x, la cui equazione è data da

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1

    e le coordinate dei fuochi sono date da

    F_1=(-c,0)\ \ \ ;\ \ \ F_2=(c,0)

    Fuochi dell'iperbole con assi paralleli o coincidenti agli assi cartesiani che interseca l'asse y

    Se indichiamo con C=(x_C,y_C) il centro dell'iperbole, l'equazione è del tipo

    \frac{(x-x_C)^2}{a^2}-\frac{(y-y_C)^2}{b^2}=-1

    e le coordinate dei fuochi sono date da

    F_1=(x_C,y_C-c)\ \ \ ;\ \ \ F_2=(x_C,y_C+c)

    Come caso particolare dell'iperbole traslata che interseca l'asse y abbiamo l'iperbole con centro nell'origine che interseca l'asse y, la cui equazione è data da

    \frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=-1

    e le coordinate dei fuochi sono date da

    F_1=(0,-c)\ \ \ ;\ \ \ F_2=(0,c)

    Fuochi dell'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti

    Le precedenti formule continuano a valere anche nel caso di un'iperbole equilatera, che per definizione è tale da avere i semiassi congruenti: a=b. Se però consideriamo l'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti, e quindi con equazione della forma

    xy=k

    allora le formule per i fuochi cambiano. Qui dobbiamo distinguere a seconda del valore del parametro k che può essere positivo o negativo.

    - Se k>0 allora le coordinate dei fuochi sono:

    F_1(-\sqrt{2k}, -\sqrt{2k})\ \ \ ;\ \ \ F_2(\sqrt{2k}, \sqrt{2k})

    - Se k<0 allora le coordinate dei fuochi sono:

    F_1(-\sqrt{-2k}, \sqrt{-2k})\ \ \ ;\ \ \ F_2(\sqrt{-2k}, -\sqrt{-2k})

    Esempi di calcolo dei fuochi dell'iperbole

    1) Consideriamo l'iperbole di equazione \frac{x^2}{36}-\frac{y^2}{64}=1 e calcoliamone le coordinate dei fuochi.

    Svolgimento: l'equazione è in forma canonica ed individua un'iperbole con centro nell'origine (assi situati sugli assi cartesiani) che interseca l'asse x.

    Il semiasse trasverso è quello orizzontale e misura a

    a=\sqrt{a^2}=\sqrt{36}=6

    Mentre il semiasse non trasverso è verticale e misura b

    b=\sqrt{b^2}=\sqrt{64}=8

    Possiamo calcolare la semidistanza focale con la solita formula

    c= \sqrt{a^2+b^2}=\sqrt{100}= 10

    Le coordinate dei fuochi sono quindi

    \\ F_1=(-c,0)=(-10,0)\\ \\ F_2=(c,0)=(10,0)

    2) Vogliamo determinare i fuochi dell'iperbole di equazione \frac{x^2}{25}-\frac{y^2}{36}= -1.

    Svolgimento: osserviamo subito che l'equazione è già espressa in forma canonica. L'iperbole ha gli assi che coincidono con gli assi cartesiani (centro nell'origine) ed interseca l'asse y.

    Il semiasse trasverso è quello verticale e misura b

    b=\sqrt{b^2}=\sqrt{36}=6

    Il semiasse non trasverso è quello orizzontale e misura a

    a=\sqrt{a^2}=\sqrt{25}=5

    Di conseguenza la semidistanza focale è

    c=\sqrt{25+36}=\sqrt{61}

    e le coordinate dei fuochi saranno:

    \\ F_1=(0,-c)=(0,-\sqrt{61})\\ \\ F_2=(0,c)=(0,\sqrt{61})

    3) Calcolare i fuochi dell'iperbole riferita ai propri asintoti di equazione xy=8.

    Svolgimento: poiché il termine k è positivo dobbiamo ricorrere alle formule

    \\ F_1(-\sqrt{2k},-\sqrt{2k})=(-4,-4)\\ \\ F_2(\sqrt{2k},\sqrt{2k})=(4,4)

    Come ci aspettavamo, essendo k=8>0 l'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti giace nel primo e nel terzo quadrante e in tali quadranti devono ricadere pure i fuochi.

    È tutto: per concludere ti lascio i link per la scheda di esercizi sull'iperbole e per l'utilissimo tool per studiare l'iperbole online. ;)

    Risposta di Ifrit
MEDIE Geometria Algebra e Aritmetica
SUPERIORI Algebra Geometria Analisi Varie
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